A variável independente é x e a dependente é y=y(x).
Devemos encontrar as soluções y(x) (ou uma solução implícita) que satisfazem a equação para todo x (ou pelo menos num intervalo).
Observação importante: a expressão do lado direito é um produto de fatores; isso gera soluções constantes possíveis quando certos fatores são sempre zero. Vou listar essas soluções especiais antes de separar variáveis.
Passo 2
Encontrar soluções constantes (soluções do tipo y(x)=y_0 constante). Para y(x)=y_0 constante devemos ter \frac{dy}{dx}=0 para todo x. Pela equação original isso exige
\operatorname{sen} x\left(\cos 2y_0\cos^{2}y_0\right)=0\quad\text{para todo }x.
Como \operatorname{sen} x não é identicamente zero (varia com x), a única maneira de a expressão ser zero para todo x é ter
Anote essas soluções constantes; quando separarmos variáveis não poderemos dividir por expressões que se anulam nesses casos, então precisamos tê-las explicitadas.
Passo 3
Agora buscamos as soluções não-constantes por separação de variáveis. Começamos escrevendo a equação e separando x e y:
onde usei a identidade \cos 2y=2\cos^{2}y-1 para reescrever o fator em termos de \cos^{2}y. Observação: nessa manipulação eu dividi por \cos^{2}y; por isso devemos excluir as soluções com \cos y=0 (já listadas no Passo 2). Para integrar a parte em y é conveniente a substituição
u=\tan y.
Justificativa: \displaystyle du=\operatorname{sec}^{2}y\,dy=\frac{dy}{\cos^{2}y}. Assim o diferencial \frac{dy}{\cos^{2}y} vira du de forma direta. Substituímos também \cos^{2}y em termos de u: