Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen} x\left(\cos 2 y \cos ^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen} x\left(\cos 2y\cos^{2}y\right).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A variável independente é x e a dependente é y=y(x).
  • Devemos encontrar as soluções y(x) (ou uma solução implícita) que satisfazem a equação para todo x (ou pelo menos num intervalo).
  • Observação importante: a expressão do lado direito é um produto de fatores; isso gera soluções constantes possíveis quando certos fatores são sempre zero. Vou listar essas soluções especiais antes de separar variáveis.

Passo 2

Encontrar soluções constantes (soluções do tipo y(x)=y_0 constante). Para y(x)=y_0 constante devemos ter \frac{dy}{dx}=0 para todo x. Pela equação original isso exige
\operatorname{sen} x\left(\cos 2y_0\cos^{2}y_0\right)=0\quad\text{para todo }x.
Como \operatorname{sen} x não é identicamente zero (varia com x), a única maneira de a expressão ser zero para todo x é ter
\cos 2y_0\cos^{2}y_0=0.
Isso ocorre quando \cos^{2}y_0=0 ou \cos 2y_0=0.
  • \cos^{2}y_0=0 \cos y_0=0, logo
y_0=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  • \cos 2y_0=0 2y_0=\frac{\pi}{2}+m\pi, logo
y_0=\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2},\quad m\in\mathbb{Z}.
Anote essas soluções constantes; quando separarmos variáveis não poderemos dividir por expressões que se anulam nesses casos, então precisamos tê-las explicitadas.

Passo 3

Agora buscamos as soluções não-constantes por separação de variáveis. Começamos escrevendo a equação e separando x e y:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sen} x\big(\cos 2y\cos^{2}y\big).
Colocando todos os termos em y no mesmo lado e os de x no outro:
\frac{dy}{\cos^{2}y\,(2\cos^{2}y-1)}=\operatorname{sen} x\,dx,
onde usei a identidade \cos 2y=2\cos^{2}y-1 para reescrever o fator em termos de \cos^{2}y. Observação: nessa manipulação eu dividi por \cos^{2}y; por isso devemos excluir as soluções com \cos y=0 (já listadas no Passo 2). Para integrar a parte em y é conveniente a substituição
u=\tan y.
Justificativa: \displaystyle du=\operatorname{sec}^{2}y\,dy=\frac{dy}{\cos^{2}y}. Assim o diferencial \frac{dy}{\cos^{2}y} vira du de forma direta. Substituímos também \cos^{2}y em termos de u:
\cos^{2}y=\frac{1}{1+u^{2}}.
Logo
2\cos^{2}y-1=\frac{2}{1+u^{2}}-1=\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}.

Passo 4

Transformando a integral em u: a esquerda fica
\int \frac{dy}{\cos^{2}y\,(2\cos^{2}y-1)}=\int \frac{du}{2\cos^{2}y-1}.
Substituindo 2\cos^{2}y-1=\dfrac{1-u^{2}}{1+u^{2}} obtemos
\int \frac{du}{\dfrac{1-u^{2}}{1+u^{2}}}=\int \frac{1+u^{2}}{1-u^{2}}\,du.
Agora calculamos essa integral em u. Observe a manipulação algébrica:
\frac{1+u^{2}}{1-u^{2}}=-1+\frac{2}{1-u^{2}}.
Logo
\int \frac{1+u^{2}}{1-u^{2}}\,du=\int\left(-1+\frac{2}{1-u^{2}}\right)du=-u+2\int\frac{1}{1-u^{2}}\,du.
A integral \displaystyle\int\frac{1}{1-u^{2}}\,du faz-se por frações parciais:
\frac{1}{1-u^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right),
portanto
\int\frac{1}{1-u^{2}}\,du=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C.
Multiplicando por 2 e somando o termo -u temos
\int \frac{1+u^{2}}{1-u^{2}}\,du=-u+\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C.

Passo 5

Agora voltamos às variáveis originais e integramos a parte direita. Lado direito:
\int \operatorname{sen} x\,dx=-\cos x + C.
Igualando as integrais (esquerda em y, direita em x) obtemos a solução implícita:
-\,\tan y+\ln\left|\frac{1+\tan y}{1-\tan y}\right|=-\cos x+C.
Podemos renomear a constante C (por exemplo trocar sinal) para uma forma mais simpática; uma forma equivalente é
\tan y-\ln\left|\frac{1+\tan y}{1-\tan y}\right|=\cos x + C_{1},
com C_{1} constante arbitrária.

Passo 6

Resumo das soluções:
  • Solução implícita geral (não-constante):
-\,\tan y+\ln\left|\frac{1+\tan y}{1-\tan y}\right|=-\cos x+C,
ou equivalentemente
\tan y-\ln\left|\frac{1+\tan y}{1-\tan y}\right|=\cos x + C_{1},
onde C,C_{1}\in\mathbb{R} são constantes arbitrárias.
  • Soluções constantes (obtidas no Passo 2), que não aparecem dividindo por zero:
y(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
y(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2},\quad m\in\mathbb{Z}.

Resposta

-\,\tan y+\ln\left|\frac{1+\tan y}{1-\tan y}\right|=-\cos x+C
y(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
y(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2},\quad m\in\mathbb{Z}

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