Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que resolvamos essa equação (ou seja, encontrar a solução geral
ou uma relação entre
e
que a satisfaça). As informações relevantes que temos são:
A incógnita é a função
em função de
. Não há outros dados adicionais (condição inicial), portanto iremos buscar a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos separar as variáveis (colocar todos os termos com
junto de
e todos os termos com
junto de
). Começamos reescrevendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
(ou seja, dividindo por
) e por
quando for conveniente, obtemos
Observe que
. Então a separação fica
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Escrevemos as integrais:
Antes de calcular, lembretes rápidos:
. Uma técnica comum para integrar
é usar a substituição
, porque
. Vamos fazer isso na prática.
Passo 4
Calcule a integral à esquerda usando
. Então
, e
A integral à direita é direta:
Passo 5
Igualando as integrais (absorvendo as constantes numa só constante
) temos
onde
é uma constante arbitrária. Multiplicando por
e reorganizando:
Agora exponenciamos ambos os lados. Como
é constante,
é uma constante positiva; chamamos
. Assim
Passo 6
Retirando o valor absoluto podemos escrever a constante multiplicativa com sinal incluído, ou seja, existe uma constante
tal que
Aqui
pode ser qualquer número real (incluindo
). Note que
corresponde às soluções constantes
, isto é,
para
, que também satisfazem a equação original (pois dão
e portanto
). Para obter
explicitamente em termos de
podemos, quando for conveniente no domínio adequado, escrever
lembrando que
dá múltiplas soluções devido à periodicidade (podemos acrescentar sinais e múltiplos de
conforme o ramo escolhido).