Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\operatorname{sec} x d y=\operatorname{cotg} y d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\operatorname{sec} x\,dy=\operatorname{cotg} y\,dx
e pede que resolvamos essa equação (ou seja, encontrar a solução geral y(x) ou uma relação entre x e y que a satisfaça). As informações relevantes que temos são:
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},\qquad \operatorname{cotg} y=\cot y=\frac{\cos y}{\sin y}.
A incógnita é a função y em função de x. Não há outros dados adicionais (condição inicial), portanto iremos buscar a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos separar as variáveis (colocar todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx). Começamos reescrevendo a equação:
\operatorname{sec} x\,dy=\cot y\,dx.
Multiplicando ambos os lados por 1/\cot y (ou seja, dividindo por \cot y) e por \cos x quando for conveniente, obtemos
\frac{dy}{\cot y}=\cos x\,dx.
Observe que \dfrac{1}{\cot y}=\tan y. Então a separação fica
\tan y\,dy=\cos x\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Escrevemos as integrais:
\int \tan y\,dy=\int \cos x\,dx.
Antes de calcular, lembretes rápidos: \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}. Uma técnica comum para integrar \tan y é usar a substituição u=\cos y, porque du=-\sin y\,dy. Vamos fazer isso na prática.

Passo 4

Calcule a integral à esquerda usando u=\cos y. Então du=-\sin y\,dy, e
\int \tan y\,dy=\int \frac{\sin y}{\cos y}\,dy = \int -\frac{1}{u}\,du = -\ln|u|+C_1 = -\ln|\cos y|+C_1.
A integral à direita é direta:
\int \cos x\,dx=\sin x + C_2.

Passo 5

Igualando as integrais (absorvendo as constantes numa só constante C) temos
-\ln|\cos y|=\sin x + C,
onde C=C_2-C_1 é uma constante arbitrária. Multiplicando por -1 e reorganizando:
\ln|\cos y|=-\sin x + C'.
Agora exponenciamos ambos os lados. Como C' é constante, e^{C'} é uma constante positiva; chamamos A=e^{C'}>0. Assim
|\cos y|=A e^{-\sin x}.

Passo 6

Retirando o valor absoluto podemos escrever a constante multiplicativa com sinal incluído, ou seja, existe uma constante C\in\mathbb{R} tal que
\cos y = C e^{-\sin x}.
Aqui C pode ser qualquer número real (incluindo 0). Note que C=0 corresponde às soluções constantes \cos y=0, isto é, y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}, que também satisfazem a equação original (pois dão \cot y=0 e portanto dy=0). Para obter y explicitamente em termos de x podemos, quando for conveniente no domínio adequado, escrever
y(x)=\operatorname{arccos}\!\big(C e^{-\sin x}\big),
lembrando que \operatorname{arccos} dá múltiplas soluções devido à periodicidade (podemos acrescentar sinais e múltiplos de 2\pi conforme o ramo escolhido).

Resposta

\cos y = C e^{-\sin x},\; C\in\mathbb{R}

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