Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
x \frac{d y}{d x}=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}=(x+1)^{2}
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação. Informações relevantes dadas: o termo x multiplica \dfrac{dy}{dx} e o lado direito é uma função apenas de x, (x+1)^{2}. Observe que a equação envolve o ponto x=0 (pois há um fator x multiplicando \dfrac{dy}{dx}) — isso pode influenciar o domínio das soluções.

Passo 2

Passo inicial de manipulação algébrica: isolar \dfrac{dy}{dx}. Como a equação é
x\frac{dy}{dx}=(x+1)^{2},
desde que x\neq 0 podemos dividir ambos os lados por x para obter
\frac{dy}{dx}=\frac{(x+1)^{2}}{x}.
Explicando: dividir por x é operação algébrica válida quando x\neq 0. Se x=0 teremos que verificar separadamente se existe alguma solução que passe por aí (vamos tratar disso depois).

Passo 3

Simplificar a função do lado direito para facilitar a integração. Expandimos (x+1)^{2} e dividimos termo a termo por x:
\frac{(x+1)^{2}}{x}=\frac{x^{2}+2x+1}{x}=x+2+\frac{1}{x}.
Explicando: (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1. Dividir cada termo por x x^{2}/x=x, 2x/x=2 e 1/x permanece.

Passo 4

Agora temos uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}=g(x) (ou seja, a derivada de y é uma função de x apenas). Isso significa que podemos integrar ambos os lados em relação a x:
dy = \left(x+2+\frac{1}{x}\right)dx.
Integrando:
\int dy=\int\left(x+2+\frac{1}{x}\right)dx.
Regra usada: a integral da soma é a soma das integrais; \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}; \int 2\,dx=2x; \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|. Lembre-se que no último caso é preciso o valor absoluto dentro do logaritmo porque \ln só está definido para argumentos positivos, e a primitiva de 1/x para x\neq 0 é \ln|x|.

Passo 5

Executando as integrais termo a termo obtemos:
y=\frac{x^{2}}{2}+2x+\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Explicando cada termo: \dfrac{x^{2}}{2} vem de \int x\,dx, 2x vem de \int 2\,dx e \ln|x| vem de \int \dfrac{1}{x}\,dx.

Passo 6

Discussão do domínio e verificação rápida. Como dividimos por x no passo 2, a solução obtida vale apenas em intervalos onde x\neq 0 (por exemplo x>0 ou x<0). Verificação: derivando a solução encontrada,
\frac{dy}{dx}=x+2+\frac{1}{x},
e substituindo em x\frac{dy}{dx} obtemos x\left(x+2+\dfrac{1}{x}\right)=(x+1)^{2}, que confirma a solução. Não existe solução válida passando por x=0 porque, substituindo x=0 na equação original teríamos 0\cdot \dfrac{dy}{dx}=(0+1)^{2}, isto é 0=1, impossível. Portanto soluções são definidas apenas em intervalos que não contenham x=0.

Resposta

y=\dfrac{x^{2}}{2}+2x+\ln|x|+C

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