Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação. Informações relevantes dadas: o termo
multiplica
e o lado direito é uma função apenas de
,
. Observe que a equação envolve o ponto
(pois há um fator
multiplicando
) — isso pode influenciar o domínio das soluções.
Passo 2
Passo inicial de manipulação algébrica: isolar
. Como a equação é
desde que
podemos dividir ambos os lados por
para obter
Explicando: dividir por
é operação algébrica válida quando
. Se
teremos que verificar separadamente se existe alguma solução que passe por aí (vamos tratar disso depois).
Passo 3
Simplificar a função do lado direito para facilitar a integração. Expandimos
e dividimos termo a termo por
:
Explicando:
. Dividir cada termo por
dá
,
e
permanece.
Passo 4
Agora temos uma equação do tipo
(ou seja, a derivada de
é uma função de
apenas). Isso significa que podemos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Regra usada: a integral da soma é a soma das integrais;
;
;
. Lembre-se que no último caso é preciso o valor absoluto dentro do logaritmo porque
só está definido para argumentos positivos, e a primitiva de
para
é
.
Passo 5
Executando as integrais termo a termo obtemos:
onde
é constante arbitrária de integração. Explicando cada termo:
vem de
,
vem de
e
vem de
.
Passo 6
Discussão do domínio e verificação rápida. Como dividimos por
no passo 2, a solução obtida vale apenas em intervalos onde
(por exemplo
ou
). Verificação: derivando a solução encontrada,
e substituindo em
obtemos
, que confirma a solução. Não existe solução válida passando por
porque, substituindo
na equação original teríamos
, isto é
, impossível. Portanto soluções são definidas apenas em intervalos que não contenham
.