Resolva as equações diferenciais:
x^{2}+3 x y+y^{2}-x^{2} \frac{d y}{d x}=0 ; x \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2} + 3xy + y^{2} - x^{2}\frac{dy}{dx} = 0,\quad x\ge0.
O conteúdo aqui é de equações homogêneas de grau zero em y e x. Vamos usar a substituição
v=\frac{y}{x}
para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Colocamos a equação em forma explícita para \tfrac{dy}{dx}. Passando x^{2}\frac{dy}{dx} para o outro lado e dividindo por x^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} \;=\; \frac{x^{2} + 3xy + y^{2}}{x^{2}} \;=\;1 + 3\frac{y}{x} + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Com v=\tfrac{y}{x} temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação do Passo 2 dá
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + 3v + v^{2} \;\;\Longrightarrow\;\; x\frac{dv}{dx} = (v+1)^{2}.

Passo 4

A equação é separável:
\frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}} = -\frac{1}{v+1}, \qquad \int \frac{dx}{x} = \ln x + C.
Logo
-\frac{1}{v+1} = \ln x + C.

Passo 5

Resolvendo para v:
v+1 = -\frac{1}{\ln x + C} \;\;\Longrightarrow\;\; v = -\frac{1}{\ln x + C} - 1.
Como v=y/x, temos
y = x\,v = x\Bigl(-\frac{1}{\ln x + C} -1\Bigr) = -\frac{x}{\ln x + C} - x.

Resposta

A solução geral, para x>0, é
\boxed{y(x) = -\,x \;-\;\frac{x}{\ln x + C},}
onde C é a constante arbitrá­ria de integração.

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