(2 PONTOS) Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos (c, f\text{(c)}),(d, f(d)) e(e, f(e)). Suponha que c<d<e.
f^{\prime}\text{(c)}=0 ; f^{\prime \prime}\text{(c)}=0 ; f^{\prime}(d)=1 ; f^{\prime \prime}(d)=0 ; f^{\prime}(e)=0 ; f^{\prime \prime}(x)<0 \text { se } x<c ;
f^{\prime \prime}(x)>0 \text { se } c<x<d ; f^{\prime \prime}(x)<0 \text { se } x>d

Passo 1

O enunciado quer que tracemos qualitativamente o gráfico de uma função f nos pontos x=c<d<e, sabendo que
f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}=0,
f'(d)=1 e f''(d)=0,
f'(e)=0,
f''(x)<0 para x<c,
f''(x)>0 para c<x<d,
f''(x)<0 para x>d.
O conteúdo principal aqui é interpretar o sinal da derivada primeira (crescimento/decrescimento) e da segunda (concavidade/inflexão) para esboçar a curva.

Passo 2

Analyse o trecho x<c. Como f''(x)<0 temos concavidade para baixo. Em x=c a derivada zera, mas vindo da esquerda, a concavidade negativa faz com que f' esteja decrescendo até atingir f'\text{(c)}=0. Logo, para x<c a função está aumentando (pois f' sai de valores positivos e decresce até zero), num formato côncavo para baixo.
Em x=c temos um ponto de inflexão horizontal, porque f'\text{(c)}=0 e a concavidade troca de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). A partir daí a curva muda de “abraçar o solo” para “abrir para o alto”.

Passo 3

Agora para c<x<d vale f''(x)>0, isto é, a curva é côncava para cima. Começando com f'\text{(c)}=0, a derivada cresce até atingir f'(d)=1, então a função continua crescendo, mas com inclinação cada vez maior até d.
No ponto x=d a segunda derivada zera f''(d)=0, mudando depois o sinal para negativo. Assim, d é outro ponto de inflexão, só que agora o valor de f'(d)=1 faz o tangente ali ter inclinação de 45^\circ (reta com declive 1).

Passo 4

Para x>d temos f''(x)<0, logo concavidade para baixo de novo. A derivada parte de f'(d)=1 e, por ser f’’ negativa, vai diminuindo até chegar a f'(e)=0. Isso significa que, no intervalo (d,e), f ainda cresce mas “arredondando” para formar um pico em e.
Em x=e ocorre f'(e)=0 com concavidade para baixo, caracterizando um máximo local horizontal.

Passo 5

Para x>e, como f''(x)<0 continua, a derivada torna-se negativa e a curva decresce côncava para baixo.

Resposta

O esboço qualitativo de y=f(x) é o seguinte (traço contínuo representa a curva):

f(e)● ← pico em e (tangente horizontal)
\
\ decresce côncava para baixo
\
● d ← inflexão em d, tangente de inclinação 1
/
/ cresce côncava para baixo até c
/
● c ← inflexão em c, tangente horizontal
/
/ cresce côncava para baixo à esquerda
/
─┴────────────────→ x
c d e …
Em palavras:
  • Antes de c: função cresce e é côncava para baixo.
  • Em c: inflexão com tangente horizontal.
  • De c a d: cresce côncava para cima (derivada sobe de 0 a 1).
  • Em d: inflexão com tangente de inclinação 1.
  • De d a e: ainda cresce, mas côncava para baixo (derivada cai de 1 a 0).
  • Em e: máximo local horizontal.
  • Após e: decresce côncava para baixo.

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