(2 PONTOS) Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelos pontos
. Suponha que
.
Passo 1
O enunciado quer que tracemos qualitativamente o gráfico de uma função
nos pontos
, sabendo que
• e
,
• e
,
• ,
• para
,
• para
,
• para
.
O conteúdo principal aqui é interpretar o sinal da derivada primeira (crescimento/decrescimento) e da segunda (concavidade/inflexão) para esboçar a curva.
•
•
•
•
•
•
O conteúdo principal aqui é interpretar o sinal da derivada primeira (crescimento/decrescimento) e da segunda (concavidade/inflexão) para esboçar a curva.
Passo 2
Analyse o trecho
. Como
temos concavidade para baixo. Em
a derivada zera, mas vindo da esquerda, a concavidade negativa faz com que
esteja decrescendo até atingir
. Logo, para
a função está aumentando (pois
sai de valores positivos e decresce até zero), num formato côncavo para baixo.
Em temos um ponto de inflexão horizontal, porque
e a concavidade troca de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). A partir daí a curva muda de “abraçar o solo” para “abrir para o alto”.
Em
Passo 3
Agora para
vale
, isto é, a curva é côncava para cima. Começando com
, a derivada cresce até atingir
, então a função continua crescendo, mas com inclinação cada vez maior até
.
No ponto a segunda derivada zera
, mudando depois o sinal para negativo. Assim,
é outro ponto de inflexão, só que agora o valor de
faz o tangente ali ter inclinação de
(reta com declive 1).
No ponto
Passo 4
Para
temos
, logo concavidade para baixo de novo. A derivada parte de
e, por ser f’’ negativa, vai diminuindo até chegar a
. Isso significa que, no intervalo
,
ainda cresce mas “arredondando” para formar um pico em
.
Em ocorre
com concavidade para baixo, caracterizando um máximo local horizontal.
Em
Passo 5
Para
, como
continua, a derivada torna-se negativa e a curva decresce côncava para baixo.
Resposta
O esboço qualitativo de
é o seguinte (traço contínuo representa a curva):
↑
f(e)● ← pico em e (tangente horizontal)
\
\ decresce côncava para baixo
\
● d ← inflexão em d, tangente de inclinação 1
/
/ cresce côncava para baixo até c
/
● c ← inflexão em c, tangente horizontal
/
/ cresce côncava para baixo à esquerda
/
─┴────────────────→ x
c d e …
f(e)● ← pico em e (tangente horizontal)
\
\ decresce côncava para baixo
\
● d ← inflexão em d, tangente de inclinação 1
/
/ cresce côncava para baixo até c
/
● c ← inflexão em c, tangente horizontal
/
/ cresce côncava para baixo à esquerda
/
─┴────────────────→ x
c d e …
Em palavras:
- Antes de
: função cresce e é côncava para baixo. - Em
: inflexão com tangente horizontal. - De
a : cresce côncava para cima (derivada sobe de a ). - Em
: inflexão com tangente de inclinação . - De
a : ainda cresce, mas côncava para baixo (derivada cai de a ). - Em
: máximo local horizontal. - Após
: decresce côncava para baixo.