Resolva as equações diferenciais:
x^{2}+3 x y+y^{2}-x^{2} \frac{d y}{d x}=0 ; x \geqslant 0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x^{2} + 3 x y + y^{2} - x^{2}\frac{d y}{d x} = 0,\quad x\ge 0.
Observe que os termos em x e y são homogêneos de grau 2, assim podemos usar a substituição de variáveis homogêneas
y = x\,v(x).

Passo 2

Com y = x\,v calculamos
\frac{d y}{d x} = v + x\,\frac{d v}{d x}.

Passo 3

Substituindo em
x^{2}\,\frac{d y}{d x} = x^{2} + 3xy + y^{2}
temos
x^{2}\bigl(v + x\,\tfrac{d v}{d x}\bigr) = x^{2} + 3x(xv) + (xv)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}v + x^{3}\frac{dv}{dx} = x^{2}(1 + 3v + v^{2}).
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x^{3}\frac{dv}{dx} = x^{2}(v+1)^{2} \;\Longrightarrow\; x\,\frac{dv}{dx} = (v+1)^{2},
que é separável:
\frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{v+1} = \ln x + C.

Passo 5

Reescrevendo,
\frac{1}{v+1} = -\ln x + C_{1},
com C_{1}=-C. Portanto
v+1 = \frac{1}{C_{1}-\ln x}.

Passo 6

Voltando a y = x\,v,
v = \frac{1}{C_{1}-\ln x} - 1,
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y = x\Bigl(\frac{1}{C_{1}-\ln x} - 1\Bigr) = \frac{x}{C_{1}-\ln x} - x.

Resposta

y(x) = \frac{x}{C_{1}-\ln x} - x,
onde C_{1} é constante arbitrária.

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