Resolva as equações diferenciais.
x dy/dx + (3x + 1)y = e^(-3x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, isso ajuda a transformar a equação num formato mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Pra isso, vamos dividir toda a equação por , já que :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 6

Para encontrar , vamos dividir ambos os lados por :
Podemos simplificar mais:
Ou de forma mais elegante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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