Demonstre usando indução: para todo
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro
, a soma
é igual a
. Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para resolver essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base da indução, que é quando
. Substituindo na soma:
Está certo! O caso base funciona.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fórmula vale para algum
, ou seja:
Esse é o nosso hipótese de indução. Precisamos provar que, se isso é verdadeiro para
, também é verdadeiro para
.
Passo 4
Vamos adicionar o próximo termo na soma para
:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Isso mostra que a fórmula também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
,