Demonstre usando indução: para todo n ≥ 1,9 + 9 * 10 + 9 * 10^(2) + ... + 9 * 10^(n-1) = 10^(n) - 1.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro , a soma é igual a . Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para resolver essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base da indução, que é quando . Substituindo na soma:
Está certo! O caso base funciona.

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula vale para algum , ou seja:
Esse é o nosso hipótese de indução. Precisamos provar que, se isso é verdadeiro para , também é verdadeiro para .

Passo 4

Vamos adicionar o próximo termo na soma para :
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :
Isso mostra que a fórmula também vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo ,

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