Prove usando a variante do exercício 2.2 .3 da indução que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais (dica: bases 8, 9, 10 )

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para provar que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser formado usando cédulas de 5 e 3 reais. Vamos usar um método chamado indução matemática, especialmente uma variação dele. Para isso, precisamos verificar alguns casos básicos e depois mostrar que, se funciona para certos números, funciona para todos os maiores também.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir os casos básicos que o problema sugeriu: 8, 9 e 10 reais.
  • Para 8 reais, podemos usar uma cédula de 5 e uma de 3: .
  • Para 9 reais, podemos usar três cédulas de 3: .
  • Para 10 reais, podemos usar duas cédulas de 5: .
Viu? Já conseguimos representar 8, 9 e 10 reais com as cédulas disponíveis.

Passo 3

Agora, vamos assumir que para algum número , já conseguimos formar os valores , e usando as cédulas de 5 e 3 reais. Isso é a parte da indução forte, onde assumimos que vários passos anteriores funcionam.

Passo 4

Queremos provar que também pode ser formado. Como já assumimos que conseguimos formar , podemos simplesmente adicionar uma cédula de 3 reais:
Isso mostra que se conseguimos formar , então conseguimos formar .

Passo 5

Como mostramos que:
  1. Os casos básicos (8, 9, 10 reais) funcionam.
  2. Se funciona para , , e , também funciona para .
Por indução, qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais.

Resposta

Assim, provamos que qualquer valor maior ou igual a 8 reais pode ser formado com cédulas de 5 e 3 reais usando indução matemática!

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