Resolva as equações diferenciais
$x y(1+x^{2}) d y-(1+y^{2}) d x=0
$x y(1+x^{2}) d y-(1+y^{2}) d x=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. As informações fornecidas são exatamente a equação:
Ou, reescrevendo de forma explícita, a equação diferencial relaciona
,
,
e
pela igualdade acima. A única pergunta é: encontrar a solução geral
em função de
(ou uma solução implícita) que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação numa forma mais conveniente para resolver. Passo a passo, isolamos
e
:
Queremos perceber se a equação é separável (ou seja, se conseguimos agrupar termos só com
e
de um lado e só com
e
do outro). Dividindo ambos os lados por
(avisando que isso exige
e que não estamos fazendo divisão por zero em
; depois comentamos casos especiais) obtemos:
Isso mostra que a equação é separável: o lado esquerdo depende apenas de
e
, e o lado direito apenas de
e
.
Passo 3
Agora vamos integrar ambos os lados. Antes, uma observação rápida sobre domínio: dividimos por
, então a solução geral vale em intervalos onde
. Também verificamos se existem soluções singulares como
ou
; plugging
na equação original dá
, logo só é possível se
for constante (não é solução como função
não-constante). Portanto a solução geral que encontraremos está válida para
e
não identicamente nulo na mesma maneira. Vamos prosseguir com as integrais.
Integramos:
Passo 4
Calculemos a integral do lado esquerdo. Uma substituição direta é simples: seja
, então
. Assim
onde
é uma constante de integração. Aqui expliquei: a integral de
é
, e como
podemos escrever sem valor absoluto no argumento do log.
Passo 5
Agora calculamos a integral do lado direito:
Para essa integral usamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes em potência de
:
- termo constante:
, - coeficiente de
: , - coeficiente de
: → .
Portanto
Passo 6
Integramos termo a termo:
A primeira integral é
. Na segunda usamos substituição
,
, logo
Assim
onde
é constante de integração.
Passo 7
Igualando as duas integrais (eles diferem por uma constante), temos
onde
é uma constante (combinando
e
). Multiplicando tudo por
obtemos
com
. Agora juntamos os logaritmos no lado esquerdo:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados (e chamando
), obtemos a forma implícita mais simples da solução geral:
ou seja
onde
é constante arbitrária (gerada da constante de integração). Podemos também escrever, isolando
,
quando for conveniente e quando a expressão no radicando for não negativa.
Passo 9
Comentário sobre casos excepcionais e domínio: a solução implícita é derivada sob a hipótese
. Não há solução não-trivial identicamente
como função de
porque isso obrigaria
. A constante
aparece positiva por construção (expo de uma constante), mas você pode aceitar uma constante arbitrária não nula escrevendo
com
para a forma obtida pela exponenciação. Domínio: escolha intervalos onde
e onde o radicando (se for escrever a solução explícita) seja não negativo.