Resolva as equações diferenciais
$x y(1+x^{2}) d y-(1+y^{2}) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. As informações fornecidas são exatamente a equação:
x\,y(1+x^{2})\,dy-(1+y^{2})\,dx=0.
Ou, reescrevendo de forma explícita, a equação diferencial relaciona x, y, dx e dy pela igualdade acima. A única pergunta é: encontrar a solução geral y em função de x (ou uma solução implícita) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação numa forma mais conveniente para resolver. Passo a passo, isolamos dx e dy:
x\,y(1+x^{2})\,dy=(1+y^{2})\,dx.
Queremos perceber se a equação é separável (ou seja, se conseguimos agrupar termos só com y e dy de um lado e só com x e dx do outro). Dividindo ambos os lados por (1+y^{2})x(1+x^{2}) (avisando que isso exige x\neq 0 e que não estamos fazendo divisão por zero em y; depois comentamos casos especiais) obtemos:
\frac{y}{1+y^{2}}\,dy=\frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx.
Isso mostra que a equação é separável: o lado esquerdo depende apenas de y e dy, e o lado direito apenas de x e dx.

Passo 3

Agora vamos integrar ambos os lados. Antes, uma observação rápida sobre domínio: dividimos por x, então a solução geral vale em intervalos onde x\neq 0. Também verificamos se existem soluções singulares como y\equiv 0 ou x\equiv 0; plugging y\equiv 0 na equação original dá -dx=0, logo só é possível se x for constante (não é solução como função y(x) não-constante). Portanto a solução geral que encontraremos está válida para x\neq 0 e y não identicamente nulo na mesma maneira. Vamos prosseguir com as integrais.
Integramos:
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy = \int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral do lado esquerdo. Uma substituição direta é simples: seja u=1+y^{2}, então du=2y\,dy. Assim
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^{2}\bigr)+C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Aqui expliquei: a integral de 1/u é \ln|u|, e como 1+y^{2}>0 podemos escrever sem valor absoluto no argumento do log.

Passo 5

Agora calculamos a integral do lado direito:
\int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx.
Para essa integral usamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{x(1+x^{2})}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+x^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x(1+x^{2}) obtemos
1 = A(1+x^{2}) + (Bx+C)x = A + A x^{2} + B x^{2} + C x.
Comparando coeficientes em potência de x:
  • termo constante: A=1,
  • coeficiente de x: C=0,
  • coeficiente de x^{2}: A+B=0 B=-A=-1.
Portanto
\frac{1}{x(1+x^{2})}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
A primeira integral é \ln|x|. Na segunda usamos substituição v=1+x^{2}, dv=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{dv}{v} = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
Assim
\int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C_2,
onde C_2 é constante de integração.

Passo 7

Igualando as duas integrais (eles diferem por uma constante), temos
\frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^{2}\bigr) = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C,
onde C é uma constante (combinando C_1 e C_2). Multiplicando tudo por 2 obtemos
\ln\bigl(1+y^{2}\bigr) = 2\ln|x| - \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C',
com C'=2C. Agora juntamos os logaritmos no lado esquerdo:
\ln\biggl(\frac{(1+y^{2})(1+x^{2})}{x^{2}}\biggr)=C'.

Passo 8

Exponenciando ambos os lados (e chamando K=e^{C'}>0), obtemos a forma implícita mais simples da solução geral:
\frac{(1+y^{2})(1+x^{2})}{x^{2}}=K,
ou seja
(1+y^{2})(1+x^{2})=K x^{2},
onde K>0 é constante arbitrária (gerada da constante de integração). Podemos também escrever, isolando y,
y=\pm\sqrt{\frac{K x^{2}}{1+x^{2}}-1},
quando for conveniente e quando a expressão no radicando for não negativa.

Passo 9

Comentário sobre casos excepcionais e domínio: a solução implícita é derivada sob a hipótese x\neq 0. Não há solução não-trivial identicamente y=0 como função de x porque isso obrigaria dx=0. A constante K aparece positiva por construção (expo de uma constante), mas você pode aceitar uma constante arbitrária não nula escrevendo (1+y^{2})(1+x^{2}) = C x^{2} com C>0 para a forma obtida pela exponenciação. Domínio: escolha intervalos onde x\neq 0 e onde o radicando (se for escrever a solução explícita) seja não negativo.

Resposta

(1+y^{2})(1+x^{2})=C x^{2}

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