Seja
. Ettermine Os extremos de
nos sequentes intervalos:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os extremos da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - A pergunta é: quais são os extremos (máximos e mínimos) de
nesse intervalo?
Passo 2
Estratégia (o que vamos fazer): em um intervalo fechado e limitado, os candidatos a extremos são os pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) e os pontos extremos do intervalo (as bordas). Primeiro vamos achar a derivada de
e os pontos críticos internos.
Cálculo da derivada: a derivada de
é
, então a derivada de
é
Explicação rápida do conceito: a derivada
mede a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Pontos onde
podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão — por isso devemos testá-los.
Passo 3
Encontrar pontos críticos internos resolvendo
:
Verificamos que
pertence ao intervalo
, então é um candidato a extremo dentro do intervalo.
Passo 4
Classificar o ponto crítico
usando a segunda derivada (teste fácil e confiável aqui).
Calculamos a segunda derivada:
Como
para todo
, a função é côncava para baixo em toda reta, logo qualquer ponto crítico é um máximo local. Portanto
é um máximo local (e provavelmente máximo absoluto no intervalo, vamos confirmar comparando os valores).
Breve explicação do teste: se
então
tem um máximo local em
; se
tem um mínimo local; se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Avaliar a função nos candidatos (ponto crítico interno e nas bordas do intervalo). Calculamos:
Explicação: em provas, sempre faça essa tabela: valores em todos os pontos candidatos e depois compare.
Passo 6
Comparar os valores obtidos para decidir os extremos no intervalo:
- Valores obtidos:
, , . - O maior valor é
em , portanto há um máximo absoluto em com valor . - O menor valor é
em , portanto há um mínimo absoluto em com valor .
Observação amiga: é comum confundir se o mínimo acontece em uma das bordas — por isso sempre compare os valores em todos os candidatos. Você fez certo ao avaliar todos.
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto: em
Mínimo absoluto: