Seja f(x)=4-x^{2}. Ettermine Os extremos de f nos sequentes intervalos:
-2 ; 1

Passo 1

O enunciado pede: determinar os extremos da função f(x)=4-x^{2} no intervalo [-2,1].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=4-x^{2}.
  • O intervalo considerado é [-2,1].
  • A pergunta é: quais são os extremos (máximos e mínimos) de f nesse intervalo?

Passo 2

Estratégia (o que vamos fazer): em um intervalo fechado e limitado, os candidatos a extremos são os pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) e os pontos extremos do intervalo (as bordas). Primeiro vamos achar a derivada de f e os pontos críticos internos.
Cálculo da derivada: a derivada de x^{2} é 2x, então a derivada de f(x)=4-x^{2} é
f'(x) = -2x.
Explicação rápida do conceito: a derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Pontos onde f'(x)=0 podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão — por isso devemos testá-los.

Passo 3

Encontrar pontos críticos internos resolvendo f'(x)=0:
-2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Verificamos que x=0 pertence ao intervalo [-2,1], então é um candidato a extremo dentro do intervalo.

Passo 4

Classificar o ponto crítico x=0 usando a segunda derivada (teste fácil e confiável aqui).
Calculamos a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x) = -2.
Como f''(x) = -2 < 0 para todo x, a função é côncava para baixo em toda reta, logo qualquer ponto crítico é um máximo local. Portanto x=0 é um máximo local (e provavelmente máximo absoluto no intervalo, vamos confirmar comparando os valores).
Breve explicação do teste: se f''(x_0)<0 então f tem um máximo local em x_0; se f''(x_0)>0 tem um mínimo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Avaliar a função nos candidatos (ponto crítico interno e nas bordas do intervalo). Calculamos:
f(0)=4-0^{2}=4,
f(-2)=4-(-2)^{2}=4-4=0,
f(1)=4-1^{2}=4-1=3.
Explicação: em provas, sempre faça essa tabela: valores em todos os pontos candidatos e depois compare.

Passo 6

Comparar os valores obtidos para decidir os extremos no intervalo:
  • Valores obtidos: f(-2)=0, f(0)=4, f(1)=3.
  • O maior valor é 4 em x=0, portanto há um máximo absoluto em x=0 com valor 4.
  • O menor valor é 0 em x=-2, portanto há um mínimo absoluto em x=-2 com valor 0.
Observação amiga: é comum confundir se o mínimo acontece em uma das bordas — por isso sempre compare os valores em todos os candidatos. Você fez certo ao avaliar todos.

Resposta

Máximo absoluto: f(0)=4 em x=0
Mínimo absoluto: f(-2)=0 em x=-2

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