Ache a solução geral das equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede: ache a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação é uma equação diferencial de primeira ordem.
- Há divisão por
, portanto devemos trabalhar em intervalos onde (ou seja, evitar pontos onde ); a solução será válida em cada intervalo onde não se anula. - O objetivo é encontrar a solução geral
com constante arbitrária.
Passo 2
Reescrevemos a equação numa forma padrão para equações lineares de 1ª ordem,
. Observando a equação temos
Portanto
Método usado: fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Essa
é dada por
Vou calcular
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante:
Logo
Em um intervalo onde
tem sinal fixo podemos tomar
(o sinal absoluto apenas muda o sinal global que é absorvido na constante de integração). Assim escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Observe o lado esquerdo: ele é exatamente a derivada de
. Para ver isso, calcule
que coincide com o lado esquerdo acima. Portanto podemos escrever
Passo 5
Simplificamos o lado direito e percebemos uma derivada conhecida. Escrevendo a parte racional:
Mas note também que a função
tem derivada
Portanto o lado direito da equação é exatamente
. Assim obtemos
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (real arbitrária). Multiplicando por
isolamos
: