Ache a solução geral das equações diferenciais dadas.
y^{\prime}-y \frac{\cos t}{\operatorname{sen} t}=e^{t}\left(1-\frac{\cos t}{\operatorname{sen} t}\right)

Passo 1

O enunciado pede: ache a solução geral da equação diferencial
y^{\prime}-y \frac{\cos t}{\operatorname{sen} t}=e^{t}\left(1-\frac{\cos t}{\operatorname{sen} t}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem.
  • Há divisão por \operatorname{sen} t, portanto devemos trabalhar em intervalos onde \operatorname{sen} t\neq 0 (ou seja, evitar pontos onde t=k\pi); a solução será válida em cada intervalo onde \operatorname{sen} t não se anula.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(t) com constante arbitrária.

Passo 2

Reescrevemos a equação numa forma padrão para equações lineares de 1ª ordem, y'+P(t)\,y=Q(t). Observando a equação temos
y' - y\frac{\cos t}{\sin t} = e^{t}\!\left(1-\frac{\cos t}{\sin t}\right).
Portanto
P(t) = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\cot t,\qquad Q(t)=e^{t}\!\left(1-\frac{\cos t}{\sin t}\right).
Método usado: fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)y(t). Essa \mu(t) é dada por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Vou calcular \mu(t).

Passo 3

Calculemos o fator integrante:
\int P(t)\,dt=\int -\cot t\,dt=-\int\cot t\,dt=-\ln|\sin t|.
Logo
\mu(t)=\exp\!\big(-\ln|\sin t|\big)=\frac{1}{|\sin t|}.
Em um intervalo onde \sin t tem sinal fixo podemos tomar \mu(t)=\dfrac{1}{\sin t} (o sinal absoluto apenas muda o sinal global que é absorvido na constante de integração). Assim escolhemos
\mu(t)=\frac{1}{\sin t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=\dfrac{1}{\sin t}:
\frac{1}{\sin t}\,y' - \frac{\cos t}{\sin^2 t}\,y = e^{t}\frac{1}{\sin t}\!\left(1-\frac{\cos t}{\sin t}\right).
Observe o lado esquerdo: ele é exatamente a derivada de \dfrac{y}{\sin t}. Para ver isso, calcule
\left(\frac{y}{\sin t}\right)'=\frac{y'}{\sin t}-y\frac{\cos t}{\sin^2 t},
que coincide com o lado esquerdo acima. Portanto podemos escrever
\left(\frac{y}{\sin t}\right)' = e^{t}\!\left(\frac{1}{\sin t}-\frac{\cos t}{\sin^2 t}\right).

Passo 5

Simplificamos o lado direito e percebemos uma derivada conhecida. Escrevendo a parte racional:
\frac{1}{\sin t}-\frac{\cos t}{\sin^2 t}=\frac{\sin t-\cos t}{\sin^2 t}.
Mas note também que a função e^{t}\csc t tem derivada
\big(e^{t}\csc t\big)'=e^{t}\csc t + e^{t}(\csc t)'=e^{t}\csc t + e^{t}(-\csc t\cot t) = e^{t}\!\left(\frac{1}{\sin t}-\frac{\cos t}{\sin^2 t}\right).
Portanto o lado direito da equação é exatamente \big(e^{t}\csc t\big)'. Assim obtemos
\left(\frac{y}{\sin t}\right)' = \big(e^{t}\csc t\big)'.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{y}{\sin t}=e^{t}\csc t + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária). Multiplicando por \sin t isolamos y:
y(t)=\sin t\,(e^{t}\csc t + C)=e^{t} + C\sin t.

Resposta

y=e^{t}+C\sin t

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