Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}+3 x^{2} y \equiv x^{2}+e^{\left(-x^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
y' + 3x^{2}y = x^{2} + e^{-x^{3}}
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é EDO linear e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int 3x^{2}\,dx\Bigr) = \exp(x^{3}).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{x^{3}}y' + 3x^{2}e^{x^{3}}y = x^{2}e^{x^{3}} + e^{x^{3}}e^{-x^{3}}
ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}}y\bigr) = x^{2}e^{x^{3}} + 1.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^{x^{3}}y = \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx + \int 1\,dx.
Para a primeira integral, faça u=x^{3}, du=3x^{2}dx, então
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}e^{x^{3}}.
E a segunda dá \int1\,dx = x. Logo
e^{x^{3}}y = \frac{1}{3}e^{x^{3}} + x + C.

Passo 5

Isolando y, temos
y = \frac{1}{3} + x\,e^{-x^{3}} + C\,e^{-x^{3}}.

Resposta

y = \frac{1}{3} + x\,e^{-x^{3}} + C\,e^{-x^{3}}.

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