Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI):
x e^{(-t)} \frac{d x}{d t} \equiv t e x(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x\,e^{-t}\,\frac{dx}{dt}=t,
com a condição inicial x(0)=1. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Vamos isolar as variáveis x e t em lados opostos para poder integrar.

Passo 2

Começamos dividindo por e^{-t} e por x, obtendo
\frac{dx}{dt}=\frac{t\,e^t}{x}.
Agora separamos as variáveis:
x\,dx = t\,e^t\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo,
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
No direito, usamos integração por partes em \displaystyle \int t\,e^t\,dt:
\int t\,e^t\,dt = t\,e^t - \int 1\cdot e^t\,dt = t\,e^t - e^t.
Logo a solução geral é
\frac{x^2}{2} = t\,e^t - e^t + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial x(0)=1. Em t=0, o lado esquerdo vale \tfrac{1^2}{2}=\tfrac12 e o direito vale 0\cdot1 -1 + C = -1 + C. Assim,
\frac12 = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C = \tfrac32.

Passo 5

Substituindo C na solução geral,
\frac{x^2}{2} = t\,e^t - e^t + \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2\,t\,e^t - 2\,e^t + 3.
Como x(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo da raiz.

Resposta

x(t) = \sqrt{\,2\,t\,e^t \;-\;2\,e^t\;+\;3\,}.

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