Um objeto quente com constante de resfriamento k=0,02 \mathrm{~s}^{-1} é submerso na água de um tanque grande cuja temperatura é de 10^{\circ} \mathrm{C}. Seja y(t) a temperatura do objeto t segundos depois.
Lei de Newton do resfriamento: y^{\prime}=-k\left(y-T_{0}\right), sendo y(t)= temperatura do objeto, T_{0}= temperatura ambiente, k= constante de resfriamento.
(a) Qual é a equação diferencial satisfeita por y(t) ?
(b) Encontre uma fórmula para y(t), supondo que a temperatura inicial do objeto é de 100^{\circ} \mathrm{C}.
(c) Quanto tempo leva para o objeto resfriar até 20^{\circ} \mathrm{C} ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
constante de resfriamento \,k=0,02\\ \mathrm{s}^{-1}\,;
temperatura ambiente \,T_{0}=10^\circ\mathrm{C}\,;
y(t) é a temperatura do objeto t segundos depois;
a Lei de Newton do resfriamento é dada por \,y'=-k\bigl(y-T_{0}\bigr)\, (isto foi fornecido).
Pedidos do enunciado:
(a) escrever a equação diferencial que y(t) satisfaz (usar os valores numéricos dados);
(b) encontrar uma fórmula para y(t), supondo y(0)=100^\circ\mathrm{C};
(c) determinar quanto tempo leva para y(t) atingir 20^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
(a) Substituir os valores de k e T_{0} na forma geral da Lei de Newton.
A Lei geral é
y' = -k\bigl(y-T_{0}\bigr).
Colocando \,k=0,02\\ \mathrm{s}^{-1}\, e \,T_{0}=10^\circ\mathrm{C}\, obtemos a equação específica:
y' = -0,02\bigl(y-10\bigr).
Aqui \,y' é a derivada de y em relação ao tempo t (taxa de variação da temperatura), k diz a rapidez do resfriamento e T_{0} é a temperatura do meio.
Passo 3
(b) Resolver a equação diferencial \,y' = -0,02(y-10)\, com a condição inicial \,y(0)=100.
Explicação do método (passo a passo, jeito “sem pular”):
Essa equação é de primeira ordem e separável/linear; vou usar separação de variáveis porque é direto aqui.
Vou comentar rapidamente: faz sentido fisicamente — em t=0 dá y(0)=10+90=100 e quando t\to\infty o termo exponencial vai a 0, então y(t)\to10, a temperatura ambiente.
Passo 4
(c) Calcular o tempo t tal que y(t)=20^\circ\mathrm{C}.