Um objeto quente com constante de resfriamento k=0,02 \mathrm{~s}^{-1} é submerso na água de um tanque grande cuja temperatura é de 10^{\circ} \mathrm{C}. Seja y(t) a temperatura do objeto t segundos depois.
Lei de Newton do resfriamento: y^{\prime}=-k\left(y-T_{0}\right), sendo y(t)= temperatura do objeto, T_{0}= temperatura ambiente, k= constante de resfriamento.
(a) Qual é a equação diferencial satisfeita por y(t) ?
(b) Encontre uma fórmula para y(t), supondo que a temperatura inicial do objeto é de 100^{\circ} \mathrm{C}.
(c) Quanto tempo leva para o objeto resfriar até 20^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • constante de resfriamento \,k=0,02\\ \mathrm{s}^{-1}\,;
    • temperatura ambiente \,T_{0}=10^\circ\mathrm{C}\,;
    • y(t) é a temperatura do objeto t segundos depois;
    • a Lei de Newton do resfriamento é dada por \,y'=-k\bigl(y-T_{0}\bigr)\, (isto foi fornecido).
  • Pedidos do enunciado:
    • (a) escrever a equação diferencial que y(t) satisfaz (usar os valores numéricos dados);
    • (b) encontrar uma fórmula para y(t), supondo y(0)=100^\circ\mathrm{C};
    • (c) determinar quanto tempo leva para y(t) atingir 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

(a) Substituir os valores de k e T_{0} na forma geral da Lei de Newton.
A Lei geral é
y' = -k\bigl(y-T_{0}\bigr).
Colocando \,k=0,02\\ \mathrm{s}^{-1}\, e \,T_{0}=10^\circ\mathrm{C}\, obtemos a equação específica:
y' = -0,02\bigl(y-10\bigr).
Aqui \,y' é a derivada de y em relação ao tempo t (taxa de variação da temperatura), k diz a rapidez do resfriamento e T_{0} é a temperatura do meio.

Passo 3

(b) Resolver a equação diferencial \,y' = -0,02(y-10)\, com a condição inicial \,y(0)=100.
Explicação do método (passo a passo, jeito “sem pular”):
  • Essa equação é de primeira ordem e separável/linear; vou usar separação de variáveis porque é direto aqui.
  • Escrever y'=\dfrac{dy}{dt} e separar y e t:
\frac{dy}{dt} = -0,02\bigl(y-10\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y-10} = -0,02\,dt.
  • Integrar ambos os lados (explicando a integral):
    • A integral de \dfrac{1}{y-10}\,dy é \ln|y-10| porque a derivada de y-10 é 1.
    • A integral de -0,02\,dt é -0,02t.
\int \frac{dy}{y-10} = \int -0,02\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y-10\bigr| = -0,02t + C,
onde C é a constante de integração.
  • Exponenciando para eliminar o logaritmo:
\bigl|y-10\bigr| = e^{C}\,e^{-0,02t}.
Escrevendo A=e^{C}>0 e permitindo que o sinal fique absorvido em uma constante C_{1} (já que a solução real aqui ficará positiva no exemplo), obtemos
y-10 = C_{1}\,e^{-0,02t},
onde C_{1} é uma constante real (pode ser positiva ou negativa).
  • Aplicar a condição inicial \,y(0)=100:
100-10 = C_{1}\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=90.
  • Portanto a solução particular é
y(t) = 10 + 90\,e^{-0,02t}.
Vou comentar rapidamente: faz sentido fisicamente — em t=0 y(0)=10+90=100 e quando t\to\infty o termo exponencial vai a 0, então y(t)\to10, a temperatura ambiente.

Passo 4

(c) Calcular o tempo t tal que y(t)=20^\circ\mathrm{C}.
  • Partir da fórmula encontrada:
20 = 10 + 90\,e^{-0,02t}.
  • Isolar o exponencial:
20-10 = 90\,e^{-0,02t} \quad\Longrightarrow\quad 10 = 90\,e^{-0,02t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-0,02t} = \frac{1}{9}.
  • Aplicar logaritmo natural (explicar: \ln(e^{u})=u):
-0,02t = \ln\!\left(\frac{1}{9}\right) = -\ln 9.
  • Isolar t:
t = \frac{\ln 9}{0,02}.
  • Simplificar a fração \dfrac{1}{0,02}=50, logo t = 50\ln 9.
  • Valor numérico aproximado (calculei \ln 9 \approx 2,197224577):
t \approx 50 \times 2{,}197224577 \approx 109{,}86\\ \text{s}.
Em minutos isso é cerca de \dfrac{109{,}86}{60}\approx 1{,}83 minutos (ou 1 minuto e 50 segundos aproximadamente).

Resposta

(a) y' = -0,02\bigl(y-10\bigr)
(b) y(t) = 10 + 90\,e^{-0,02t}
(c) t = 50\ln 9 \approx 109{,}86\\ \text{s}

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