Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A equação y^{\prime}=x+y é separável.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“A equação \,y' = x + y\, é separável.”
Informações dadas:
  • A equação diferencial ordinária é \,y' = x + y\, (aqui y'=dy/dx).
  • A tarefa é apenas determinar se a equação é do tipo separável; se for, justificar por que; se não for, justificar por que não (ou fornecer um exemplo/contraexemplo).

Passo 2

O que significa “ser separável”? Vou explicar devagar e com exemplo, sem pressa, como um amigo.
  • Uma equação diferencial é separável quando a parte direita pode ser escrita como produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y. Ou seja, a equação tem a forma
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y),
onde g depende apenas de x e h depende apenas de y.
  • Se essa forma existe, podemos “separar as variáveis” e reescrever como
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
e então integrar cada lado com sua variável para obter a solução geral (isso é a ideia básica de separabilidade).
  • Exemplo concreto (para fixar): a equação \,y' = x y\, é separável, pois aqui g(x)=x e h(y)=y. Separando:
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx,
integrando dá \ln|y| = x^2/2 + C, etc.

Passo 3

Aplicando a definição à equação dada: queremos saber se existe uma decomposição
x + y = g(x)\,h(y)
válida para todos x e y, com g função só de x e h função só de y. Se essa escrita for impossível, a equação não é separável.

Passo 4

Mostro que tal decomposição é impossível por contradição (argumento direto e simples).
  • Suponha que existam g(x) e h(y) tais que para todos x,y
g(x)\,h(y) = x + y.
  • Considere a derivada parcial em relação a x (ou simplesmente diferencie em x, tratando y como constante). Do lado direito a derivada em relação a x é 1. Do lado esquerdo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(g(x)h(y)\big) = g'(x)\,h(y).
Logo para todos x,y vale
g'(x)\,h(y) = 1.
  • Essa igualdade diz que, para um mesmo x, o produto g'(x)\,h(y) não pode depender de y; portanto h(y) deve ser constante. Formalizando: se existirem dois valores y_1\neq y_2 com h(y_1)\neq h(y_2), então a igualdade acima seria contraditória porque o lado esquerdo mudaria com y enquanto o direito é fixo igual a 1. Então necessariamente h(y)=c para alguma constante c\neq 0.
  • Se h(y)=c, então de g'(x)\,c = 1 obtemos g'(x)=1/c, logo g(x)=x/c + k para alguma constante k.
  • Então
g(x)\,h(y) = \big(\tfrac{x}{c}+k\big)c = x + kc.
Mas essa expressão deve ser igual a x + y para todos x,y. Assim teríamos x + kc = x + y para todos x,y, o que implica y = kc para todo y, impossível. Contradição.

Passo 5

Como chegamos a contradição ao supor que x+y pode ser escrita como produto g(x)h(y), concluímos que não existem funções g e h tais que \,x+y=g(x)h(y). Portanto a equação \,y' = x + y\, NÃO é separável.

Passo 6

Comentário útil (para a prova): a equação \,y' = x + y\, é, entretanto, um exemplo de equação linear de primeira ordem (não separável). A forma padrão é
\frac{dy}{dx} - y = x.
Ela é resolvida por fator integrante em vez de separação; a solução geral é
y = -x - 1 + C e^{x},
onde C é constante arbitrária. Isso é só para você saber um caminho alternativo de resolução quando a separação falhar.

Resposta

Falsa.

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