Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) A equação
é separável.
( ) A equação
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“A equação é separável.”
Informações dadas:
“A equação
Informações dadas:
- A equação diferencial ordinária é
(aqui ). - A tarefa é apenas determinar se a equação é do tipo separável; se for, justificar por que; se não for, justificar por que não (ou fornecer um exemplo/contraexemplo).
Passo 2
O que significa “ser separável”? Vou explicar devagar e com exemplo, sem pressa, como um amigo.
- Uma equação diferencial é separável quando a parte direita pode ser escrita como produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de . Ou seja, a equação tem a forma
onde
depende apenas de
e
depende apenas de
.
- Se essa forma existe, podemos “separar as variáveis” e reescrever como
e então integrar cada lado com sua variável para obter a solução geral (isso é a ideia básica de separabilidade).
- Exemplo concreto (para fixar): a equação
é separável, pois aqui e . Separando:
integrando dá
, etc.
Passo 3
Aplicando a definição à equação dada: queremos saber se existe uma decomposição
válida para todos
e
, com
função só de
e
função só de
. Se essa escrita for impossível, a equação não é separável.
Passo 4
Mostro que tal decomposição é impossível por contradição (argumento direto e simples).
- Suponha que existam
e tais que para todos
- Considere a derivada parcial em relação a
(ou simplesmente diferencie em , tratando como constante). Do lado direito a derivada em relação a é . Do lado esquerdo:
Logo para todos
vale
- Essa igualdade diz que, para um mesmo
, o produto não pode depender de ; portanto deve ser constante. Formalizando: se existirem dois valores com , então a igualdade acima seria contraditória porque o lado esquerdo mudaria com enquanto o direito é fixo igual a . Então necessariamente para alguma constante . - Se
, então de obtemos , logo para alguma constante . - Então
Mas essa expressão deve ser igual a
para todos
. Assim teríamos
para todos
, o que implica
para todo
, impossível. Contradição.
Passo 5
Como chegamos a contradição ao supor que
pode ser escrita como produto
, concluímos que não existem funções
e
tais que
. Portanto a equação
NÃO é separável.
Passo 6
Comentário útil (para a prova): a equação
é, entretanto, um exemplo de equação linear de primeira ordem (não separável). A forma padrão é
Ela é resolvida por fator integrante em vez de separação; a solução geral é
onde
é constante arbitrária. Isso é só para você saber um caminho alternativo de resolução quando a separação falhar.
Resposta
Falsa.