Resolva as equações diferencias (1.0pt):
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede que a resolvamos:
Informações relevantes:
- A equação relaciona a derivada de
com respeito a à função . - Não foi dada nenhuma condição inicial ou valor adicional, logo devemos obter a solução geral contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Interpretação do que fazer (sem usar termos técnicos em excesso): a igualdade diz que a taxa de variação de
em relação a
é exatamente
. Para recuperar
a partir da sua derivada, vamos aplicar a operação inversa da derivada, que é a integração. Em termos práticos, integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Aplicando a integração em ambos os lados (isto é permitido porque estamos lidando com funções de
e queremos antiderivadas):
Observação:
é igual à antiderivada de
, que retorna
(até uma constante).
Passo 4
Usamos a regra da potência para integrais: para qualquer inteiro
,
Aqui
é
, então com
obtemos
onde
é a constante de integração (aparece porque a antiderivada não é única).
Passo 5
Da igualdade do Passo 3 e do cálculo do Passo 4, concluímos
que é a solução geral da equação diferencial. A constante
representa qualquer constante real; sem condição inicial não dá para fixá-la.
Passo 6
Cheque rápido (para ter segurança): derivando a solução encontrada verificamos se voltamos à equação dada. Diferenciando
que coincide com o lado direito original, portanto a solução está correta.
Passo 7
Como dica prática para a prova: se te derem uma condição inicial do tipo
, basta substituir na solução geral e resolver para
:
Assim obtém-se a solução particular.