Resolva as equações diferencias (1.0pt):
\frac{d y}{d x}=x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede que a resolvamos:
\frac{dy}{dx}=x.
Informações relevantes:
  • A equação relaciona a derivada de y com respeito a x à função x.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial ou valor adicional, logo devemos obter a solução geral contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Interpretação do que fazer (sem usar termos técnicos em excesso): a igualdade diz que a taxa de variação de y em relação a x é exatamente x. Para recuperar y a partir da sua derivada, vamos aplicar a operação inversa da derivada, que é a integração. Em termos práticos, integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Aplicando a integração em ambos os lados (isto é permitido porque estamos lidando com funções de x e queremos antiderivadas):
\int \frac{dy}{dx}\,dx = \int x\,dx.
Observação: \int \frac{dy}{dx}\,dx é igual à antiderivada de \frac{dy}{dx}, que retorna y (até uma constante).

Passo 4

Usamos a regra da potência para integrais: para qualquer inteiro n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é x^1, então com n=1 obtemos
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração (aparece porque a antiderivada não é única).

Passo 5

Da igualdade do Passo 3 e do cálculo do Passo 4, concluímos
y = \frac{x^{2}}{2} + C,
que é a solução geral da equação diferencial. A constante C representa qualquer constante real; sem condição inicial não dá para fixá-la.

Passo 6

Cheque rápido (para ter segurança): derivando a solução encontrada verificamos se voltamos à equação dada. Diferenciando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+\frac{d}{dx}\text{(C)}=x+0=x,
que coincide com o lado direito original, portanto a solução está correta.

Passo 7

Como dica prática para a prova: se te derem uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, basta substituir na solução geral e resolver para C:
y_0=\frac{x_0^2}{2}+C \quad\Rightarrow\quad C = y_0-\frac{x_0^2}{2}.
Assim obtém-se a solução particular.

Resposta

y=\dfrac{x^{2}}{2}+C

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