Resolva as equações em \ell :
x^{3}-8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^3 - 8 = 0
no conjunto dos números complexos (vamos assumir esse domínio para capturar todas as raízes). O conteúdo envolve fatoração de diferença de cubos e, em seguida, solução de uma equação quadrática no caso das raízes não-reais.

Passo 2

Reconhecemos que 8 = 2^3, então usamos a fatoração de diferença de cubos:
x^3 - 2^3 = (x - 2)\,(x^2 + 2x + 2^2).
Logo,
x^3 - 8 = (x - 2)\,(x^2 + 2x + 4).

Passo 3

Da fatoração, um dos fatores é linear. Resolvendo
x - 2 = 0
obtemos a raiz
x = 2.

Passo 4

O outro fator é a equação quadrática
x^2 + 2x + 4 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\,i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}.

Resposta

As três soluções da equação x^3 - 8 = 0 são
x = 2,\quad x = -1 + i\sqrt{3},\quad x = -1 - i\sqrt{3}.

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