Exprima cada número complexo abaixo na forma exponencial.
(-2)^{60}

Passo 1

O enunciado pede para escrever (-2)^{60} na forma exponencial. Vamos usar o fato de que qualquer número complexo pode ser escrito como
r e^{i\theta}
onde r é o módulo e \theta o argumento, e a fórmula de De Moivre:
(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{i n\theta}.

Passo 2

Primeiro escrevemos -2 na forma polar. Seu módulo é 2 e seu argumento principal é \pi. Logo,
-2 = 2e^{i(\pi + 2k\pi)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Aplicando De Moivre para elevar à 60ª potência, obtemos
(-2)^{60} = \bigl(2e^{i(\pi + 2k\pi)}\bigr)^{60} =2^{60}e^{\,i\,60(\pi + 2k\pi)}.

Passo 4

O argumento 60(\pi+2k\pi)=60\pi+120k\pi. Para k=0 (valor principal) isso é 60\pi. Como
e^{i60\pi}=\bigl(e^{i\pi}\bigr)^{60}=(-1)^{60}=1,
podemos também escrever o resultado com argumento reduzido módulo 2\pi, isto é, 0.

Resposta

(-2)^{60}=2^{60}e^{i\,60\pi}.

Exercícios relacionados