Resolva as equações.
a) \frac{2}{x+1}-\frac{4}{x-1}=0
b) \frac{4}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{5}{x^{2}-1}
c) \frac{3}{x+1}+\frac{2}{x-1}=3
d) \frac{2}{x-4}+\frac{5}{x-2}=3
e) \frac{6}{x-3}+\frac{5}{x-4}=2
f) \frac{x}{x-2}-\frac{3}{x+2}=1
g) \frac{1}{2 x+1}+\frac{1}{3 x-1}=\frac{2}{5}
h) \frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x}
i) \frac{2}{x+1}-\frac{2}{2 x-3}=\frac{3}{x}
j) \frac{4}{x-5}-\frac{5}{x-2}=\frac{12}{(x-5)(x-2)}
k) \frac{4}{5-2 x}-\frac{3}{x}=0
l) \frac{3 x+4}{1-5 x}+\frac{3}{2}=\frac{5}{6}

Passo 1

O enunciado pede resolver as 12 equações indicadas (encontrar os valores de x que satisfazem cada igualdade). Para cada equação é necessário observar os denominadores e excluir valores que tornam qualquer denominador zero (esses valores não pertencem ao domínio da equação). Vou listar para cada item quais são os denominadores proibidos (peguei esses denominadores diretamente das equações do enunciado):
a) Denominadores: x+1, x-1. Proibidos: x\neq -1,\;x\neq 1.
b) Denominadores: x+1, x-1, x^{2}-1=(x-1)(x+1). Proibidos: x\neq -1,\;x\neq 1.
c) Denominadores: x+1, x-1. Proibidos: x\neq -1,\;x\neq 1.
d) Denominadores: x-4, x-2. Proibidos: x\neq 4,\;x\neq 2.
e) Denominadores: x-3, x-4. Proibidos: x\neq 3,\;x\neq 4.
f) Denominadores: x-2, x+2. Proibidos: x\neq 2,\;x\neq -2.
g) Denominadores: 2x+1, 3x-1. Proibidos: x\neq -\tfrac{1}{2},\;x\neq \tfrac{1}{3}.
h) Denominadores: x-2, x+3, x. Proibidos: x\neq 2,\;x\neq -3,\;x\neq 0.
i) Denominadores: x+1, 2x-3, x. Proibidos: x\neq -1,\;x\neq \tfrac{3}{2},\;x\neq 0.
j) Denominadores: x-5, x-2, e o produto (x-5)(x-2). Proibidos: x\neq 5,\;x\neq 2.
k) Denominadores: 5-2x, x. Proibidos: x\neq \tfrac{5}{2},\;x\neq 0.
l) Denominador: 1-5x. Proibido: x\neq \tfrac{1}{5}.
Em cada caso vou limpar os denominadores multiplicando ambos os lados pela mínima comum múltipla (MMC) dos denominadores, resolver a equação algébrica resultante e, por fim, descartar raízes proibidas se aparecerem.

Passo 2

a) Resolver \dfrac{2}{x+1}-\dfrac{4}{x-1}=0.
Método: multiplicar ambos os lados pelo produto (x+1)(x-1) (MMC) para eliminar denominadores. Isso é válido desde que x\neq -1,1.
(x+1)(x-1)\left(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{4}{x-1}\right)=0.
Ao distribuir:
2(x-1)-4(x+1)=0.
Calcular:
2x-2-4x-4=0 \quad\Rightarrow\quad -2x-6=0.
Isolando x:
-2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Verificação do domínio: x=-3 não é -1 nem 1, logo é solução válida.

Passo 3

b) Resolver \dfrac{4}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{5}{x^{2}-1}.
Observação: x^{2}-1=(x-1)(x+1). MMC é (x+1)(x-1). Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-1) (válido se x\neq \pm1):
(x+1)(x-1)\left(\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\right)=(x+1)(x-1)\cdot\dfrac{5}{(x+1)(x-1)}.
Isso simplifica para:
4(x-1)+1(x+1)=5.
Calcular:
4x-4+x+1=5 \quad\Rightarrow\quad 5x-3=5.
Isolando:
5x=8 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{8}{5}.
Verificação: \dfrac{8}{5}\neq \pm1, então é solução válida.

Passo 4

c) Resolver \dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}=3.
MMC: (x+1)(x-1). Multiplicando:
(x+1)(x-1)\left(\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}\right)=3(x+1)(x-1).
Simplifica para:
3(x-1)+2(x+1)=3(x^{2}-1).
Calcular lado esquerdo:
3x-3+2x+2=5x-1.
Logo:
5x-1=3x^{2}-3.
Colocar em forma padrão:
0=3x^{2}-5x-2.
Resolver quadrática: discriminante \Delta = (-5)^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49. Raiz \sqrt{\Delta}=7.
x=\dfrac{5\pm7}{6}.
Portanto:
x=\dfrac{12}{6}=2 \quad\text{ou}\quad x=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}.
Verificação do domínio: ambos não são -1 nem 1, então as duas raízes são válidas.

Passo 5

d) Resolver \dfrac{2}{x-4}+\dfrac{5}{x-2}=3.
MMC: (x-4)(x-2). Multiplicando:
2(x-2)+5(x-4)=3(x-4)(x-2).
Calcular lado esquerdo:
2x-4+5x-20=7x-24.
Expandir o lado direito:
3(x^{2}-6x+8)=3x^{2}-18x+24.
Igualando:
7x-24=3x^{2}-18x+24.
Levar tudo para um lado:
0=3x^{2}-25x+48.
Quadrática: \Delta = (-25)^{2}-4\cdot3\cdot48=625-576=49. \sqrt{\Delta}=7.
x=\dfrac{25\pm7}{6}.
Assim:
x=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{18}{6}=3.
Verificação do domínio: 3 e 16/3 não são 4 nem 2, então são válidos.

Passo 6

e) Resolver \dfrac{6}{x-3}+\dfrac{5}{x-4}=2.
MMC: (x-3)(x-4). Multiplicando ambos os lados:
6(x-4)+5(x-3)=2(x-3)(x-4).
Calcular LHS:
6x-24+5x-15=11x-39.
RHS:
2(x^{2}-7x+12)=2x^{2}-14x+24.
Igualando:
11x-39=2x^{2}-14x+24.
Colocar em forma padrão:
0=2x^{2}-25x+63.
Quadrática: \Delta = (-25)^{2}-4\cdot2\cdot63=625-504=121. \sqrt{\Delta}=11.
x=\dfrac{25\pm11}{4}.
Portanto:
x=\dfrac{36}{4}=9\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{14}{4}=\dfrac{7}{2}.
Verificação do domínio: 9 e 7/2 não são 3 nem 4, então válidas.

Passo 7

f) Resolver \dfrac{x}{x-2}-\dfrac{3}{x+2}=1.
MMC: (x-2)(x+2)=x^{2}-4. Multiplicando:
x(x+2)-3(x-2)=1\cdot(x^{2}-4).
Calcular LHS:
x^{2}+2x-3x+6=x^{2}-x+6.
Igualando ao RHS:
x^{2}-x+6=x^{2}-4.
Cancelar x^{2} dos dois lados:
-x+6=-4 \quad\Rightarrow\quad -x=-10 \quad\Rightarrow\quad x=10.
Verificação do domínio: 10\neq 2 e 10\neq -2, portanto solução válida.

Passo 8

g) Resolver \dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x-1}=\dfrac{2}{5}.
Estratégia: multiplicar por 5(2x+1)(3x-1) para eliminar denominadores (evita frações intermediárias).
5(3x-1)+5(2x+1)=2\cdot(2x+1)(3x-1).
Calcular LHS:
15x-5+10x+5=25x.
RHS expandido:
2(6x^{2}+x-1)=12x^{2}+2x-2.
Equação:
25x=12x^{2}+2x-2.
Colocar em forma padrão:
0=12x^{2}-23x-2.
Quadrática: \Delta = (-23)^{2}-4\cdot12\cdot(-2)=529+96=625. \sqrt{\Delta}=25.
x=\dfrac{23\pm25}{24}.
Portanto:
x=\dfrac{48}{24}=2\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{-2}{24}=-\dfrac{1}{12}.
Verificação do domínio: 2\neq -\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3} e -\tfrac{1}{12} também está no domínio, então ambas válidas.

Passo 9

h) Resolver \dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{1}{x}.
MMC: x(x-2)(x+3). Multiplicando:
3x(x+3)-2x(x-2)=(x-2)(x+3).
Calcular LHS:
3x^{2}+9x-2x^{2}+4x=x^{2}+13x.
Calcular RHS:
x^{2}+x-6.
Igualando:
x^{2}+13x=x^{2}+x-6.
Cancelar x^{2}:
13x=x-6 \quad\Rightarrow\quad 12x=-6 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{1}{2}.
Verificação do domínio: -\tfrac{1}{2}\neq 0,2,-3, logo solução válida.

Passo 10

i) Resolver \dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{2x-3}=\dfrac{3}{x}.
MMC: x(x+1)(2x-3). Multiplicando:
2x(2x-3)-2x(x+1)=3(x+1)(2x-3).
Calcular LHS:
4x^{2}-6x-2x^{2}-2x=2x^{2}-8x.
Calcular RHS:
3(2x^{2}-x-3)=6x^{2}-3x-9.
Formar equação:
2x^{2}-8x=6x^{2}-3x-9.
Colocar em forma padrão:
0=4x^{2}+5x-9.
Quadrática: \Delta = 5^{2}-4\cdot4\cdot(-9)=25+144=169. \sqrt{\Delta}=13.
x=\dfrac{-5\pm13}{8}.
Portanto:
x=\dfrac{8}{8}=1\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{-18}{8}=-\dfrac{9}{4}.
Verificação do domínio: 1 e -\tfrac{9}{4} não são 0,-1,\tfrac{3}{2}, então ambas válidas.

Passo 11

j) Resolver \dfrac{4}{x-5}-\dfrac{5}{x-2}=\dfrac{12}{(x-5)(x-2)}.
MMC: (x-5)(x-2). Multiplicando:
4(x-2)-5(x-5)=12.
Calcular:
4x-8-5x+25=-x+17.
Igualando a 12:
-x+17=12 \quad\Rightarrow\quad -x=-5 \quad\Rightarrow\quad x=5.
Verificação do domínio: x=5 é proibido (anula denominador x-5). Portanto não é solução. Não há outras raízes; conclusão: equação não possui solução.

Passo 12

k) Resolver \dfrac{4}{5-2x}-\dfrac{3}{x}=0.
Primeiro reescrever: \dfrac{4}{5-2x}=\dfrac{3}{x}. MMC: x(5-2x). Multiplicar:
4x=3(5-2x).
Calcular:
4x=15-6x \quad\Rightarrow\quad 10x=15 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3}{2}.
Verificação do domínio: x=\tfrac{3}{2}\neq 0,\tfrac{5}{2}, logo solução válida.

Passo 13

l) Resolver \dfrac{3x+4}{1-5x}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{6}.
Primeiro isolar a fração: \dfrac{3x+4}{1-5x}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{2}.
Calcular o lado direito:
\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{6}-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}.
Então:
\dfrac{3x+4}{1-5x}=-\dfrac{2}{3}.
Multiplicar ambos os lados por 3(1-5x) (válido se 1-5x\neq 0):
3(3x+4)=-2(1-5x).
Calcular:
9x+12=-2+10x.
Isolar x:
9x+12+2-10x=0 \quad\Rightarrow\quad -x+14=0 \quad\Rightarrow\quad x=14.
Verificação do domínio: 14\neq \tfrac{1}{5}, logo válida.

Resposta

a) x=-3
b) x=\dfrac{8}{5}
c) x=2,\;x=-\dfrac{1}{3}
d) x=\dfrac{16}{3},\;x=3
e) x=9,\;x=\dfrac{7}{2}
f) x=10
g) x=2,\;x=-\dfrac{1}{12}
h) x=-\dfrac{1}{2}
i) x=1,\;x=-\dfrac{9}{4}
j) (sem solução)
k) x=\dfrac{3}{2}
l) x=14

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