Resolva as equações.
frac{x^{2}-4 x+9}{x^{2}-5 x+6}=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{x^{2}-4x+9}{x^{2}-5x+6}=3.
Informações dadas e o que é exigido:
  • Temos uma fração algébrica onde o numerador é x^{2}-4x+9 e o denominador é x^{2}-5x+6.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade, tomando cuidado com valores que tornam o denominador zero (esses não pertencem ao domínio da equação).

Passo 2

Determinar o domínio (valores proibidos) encontrando quando o denominador é zero.
Fatorando o denominador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Portanto o denominador é zero se x=2 ou x=3. Esses valores devem ser excluídos do domínio; não podemos multiplicar ambos os lados da equação por x^{2}-5x+6 quando x for 2 ou 3. Anotação importante: ao resolver multiplicando pelo denominador, só podemos aplicar a multiplicação assumindo x\neq2 e x\neq3.

Passo 3

Multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador (válido somente para x\neq2,3) para eliminar a fração:
x^{2}-4x+9 = 3\bigl(x^{2}-5x+6\bigr).
Agora desenvolver o lado direito:
x^{2}-4x+9 = 3x^{2}-15x+18.

Passo 4

Levar tudo para um lado para obter uma equação quadrática padrão:
0 = 3x^{2}-15x+18 - (x^{2}-4x+9).
Calcular termo a termo:
0 = 3x^{2}-15x+18 - x^{2} +4x -9.
0 = (3x^{2}-x^{2}) + (-15x+4x) + (18-9).
0 = 2x^{2} -11x +9.
Portanto precisamos resolver
2x^{2}-11x+9=0.

Passo 5

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula diz que, para ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=2, b=-11 (atenção ao sinal: na nossa equação b=-11) e c=9. Calcular o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-11)^{2}-4\cdot2\cdot9 = 121-72 =49.
Como \Delta=49\ge0, há duas raízes reais. A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=7. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-11)\pm7}{2\cdot2}=\frac{11\pm7}{4}.
Isso dá as duas soluções:
x=\frac{11+7}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}, \qquad x=\frac{11-7}{4}=\frac{4}{4}=1.

Passo 6

Verificar se as soluções obtidas pertencem ao domínio (não anulam o denominador) e checar na equação original para evitar soluções extranhas.
  • As soluções candidatas são x=1 e x=\tfrac{9}{2}.
  • Ambas são diferentes de 2 e 3, logo não anulam o denominador.
    Fazer checagem rápida substituindo na equação original:
  • Para x=1: numerador 1-4+9=6; denominador 1-5+6=2; fração 6/2=3. OK.
  • Para x=\tfrac{9}{2}: numerador e denominador calculam-se (pegando frações) e o quociente também resulta em 3. OK.

Resposta

x=1
x=\dfrac{9}{2}

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