Resolva as equações
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x y+x^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x y+x^{2}}
e pede resolver essa equação, ou seja, encontrar a família de soluções y(x). Informações dadas e observações iniciais: a expressão do lado direito tem denominador x y+x^{2}=x(y+x), então devemos prestar atenção a pontos onde x=0 ou y+x=0. Não há condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Vamos inspecionar a forma da equação e simplificá‑la onde possível. Reescrevendo o denominador obtemos
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}}{x(y+x)}.
Note que a equação é homogênea em x e y no sentido de que o quociente à direita depende apenas da razão y/x (se dividirmos numerador e denominador por x^{2} aparece apenas y/x). Isso sugere a substituição típica para equações homogêneas:
\text{faça } y=vx,\quad\text{onde }v=v(x).ç
Antes de aplicar a substituição, lembramos que esta manipulação exige x\neq0. Também a técnica de separar variáveis mais adiante exigirá tratar o caso y=0 à parte.

Passo 3

Aplicando y=vx e calculando \dfrac{dy}{dx} em função de v e dv/dx:
\frac{d y}{d x}=v + x\frac{dv}{dx},
pois pela regra do produto \dfrac{d}{dx}(v(x)\,x)=v + x\,dv/dx. Agora substituímos na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{(v x)^{2}}{x\bigl(v x + x\bigr)}.

Passo 4

Simplificamos o lado direito: (v x)^{2}=v^{2}x^{2} e x(vx+x)=x^{2}(v+1), logo
\frac{(v x)^{2}}{x\bigl(v x + x\bigr)}=\frac{v^{2}x^{2}}{x^{2}(v+1)}=\frac{v^{2}}{v+1}.
Portanto a equação para v fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}}{v+1}.
Isolando x\,dv/dx obtemos
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}}{v+1}-v.

Passo 5

Fazemos a subtração no lado direito com cuidado de frações:
\frac{v^{2}}{v+1}-v=\frac{v^{2}-v(v+1)}{v+1}=\frac{v^{2}-v^{2}-v}{v+1}=-\frac{v}{v+1}.
Assim
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{v+1}.
Agora separamos variáveis (observe que nesta etapa dividimos por v, então precisamos tratar v=0, ou seja y=0, como caso especial):
\frac{v+1}{v}\,dv=-\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados. À esquerda, separamos a fração:
\frac{v+1}{v}=1+\frac{1}{v},
portanto
\int\!\left(1+\frac{1}{v}\right)dv=\int -\frac{dx}{x}.
As integrais conhecidas são \int 1\,dv=v e \int \dfrac{1}{v}\,dv=\ln|v|; à direita \int -\dfrac{dx}{x}=-\ln|x|. Assim obtemos
v+\ln|v|=-\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Voltemos à variável original y. Lembrando que v=y/x, temos v x = y. Reescrevendo a constante:
v+\ln|v|+\ln|x|=C.
Como \ln|v|+\ln|x|=\ln|v x|=\ln|y|, obtemos a solução implícita
\frac{y}{x}+\ln|y|=C.
Essa é a família geral de soluções em forma implícita válida para x\neq0 e y\neq0 (pois usamos \ln|y| e dividimos por v em um passo).

Passo 8

Trate o caso y=0 separadamente: substituindo y\equiv0 em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}}{x(y+x)} obtemos \dfrac{dy}{dx}=0, que é satisfeita por y\equiv0. Logo y\equiv0 é uma solução singular (não aparece na fórmula com \ln|y|). Também lembramos que x=0 está fora do domínio da equação original por zerar o denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{x}+\ln|y|=C (solução implícita geral, válida para x\neq0 e y\neq0).
\displaystyle y\equiv0 (solução singular).

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