Resolva as equações
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede resolver essa equação, ou seja, encontrar a família de soluções
. Informações dadas e observações iniciais: a expressão do lado direito tem denominador
, então devemos prestar atenção a pontos onde
ou
. Não há condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Vamos inspecionar a forma da equação e simplificá‑la onde possível. Reescrevendo o denominador obtemos
Note que a equação é homogênea em
e
no sentido de que o quociente à direita depende apenas da razão
(se dividirmos numerador e denominador por
aparece apenas
). Isso sugere a substituição típica para equações homogêneas:
Antes de aplicar a substituição, lembramos que esta manipulação exige
. Também a técnica de separar variáveis mais adiante exigirá tratar o caso
à parte.
Passo 3
Aplicando
e calculando
em função de
e
:
pois pela regra do produto
. Agora substituímos na equação original:
Passo 4
Simplificamos o lado direito:
e
, logo
Portanto a equação para
fica
Isolando
obtemos
Passo 5
Fazemos a subtração no lado direito com cuidado de frações:
Assim
Agora separamos variáveis (observe que nesta etapa dividimos por
, então precisamos tratar
, ou seja
, como caso especial):
Passo 6
Integramos ambos os lados. À esquerda, separamos a fração:
portanto
As integrais conhecidas são
e
; à direita
. Assim obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 7
Voltemos à variável original
. Lembrando que
, temos
. Reescrevendo a constante:
Como
, obtemos a solução implícita
Essa é a família geral de soluções em forma implícita válida para
e
(pois usamos
e dividimos por
em um passo).
Passo 8
Trate o caso
separadamente: substituindo
em
obtemos
, que é satisfeita por
. Logo
é uma solução singular (não aparece na fórmula com
). Também lembramos que
está fora do domínio da equação original por zerar o denominador.