Verifique que é exata e resolva.
y d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede: verificar que a equação diferencial
y\,dx + x\,dy = 0
é exata e, em seguida, resolver essa equação (encontrar a solução geral). Dados importantes extraídos do enunciado:
M(x,y)=y\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)},\qquad N(x,y)=x\quad\text{(coeficiente de }dy\text{)}.

Passo 2

O que significa “ser exata”? Vou explicar devagar: uma equação diferencial escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existir uma função \Phi(x,y) (chamada função potencial) tal que
d\Phi = \Phi_x\,dx + \Phi_y\,dy = M\,dx + N\,dy.
Quando \Phi é duas vezes diferenciável, isso implica a condição
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
porque as derivadas mistas de \Phi coincidem. Essa é a condição prática que usamos para verificar exatidão.

Passo 3

Vamos aplicar a verificação: calcule as derivadas parciais relevantes.
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Como \displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}=1, a equação é exata. Boa: verificação pronta.

Passo 4

Agora, para resolver pelo método das exatas, buscamos \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M=y e \Phi_y=N=x. Integramos \Phi_x=M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int y\,dx = xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y (porque ao integrar em x tratamos y como constante).

Passo 5

Agora usamos a outra condição \Phi_y=N. Calcule \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y = \frac{\partial}{\partial y}(xy + h(y)) = x + h'(y).
Igualamos isso a N(x,y)=x:
x + h'(y) = x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é uma constante: h(y)=C_0. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=xy + C_0.

Passo 6

A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)= constante. Absorvendo C_0 em outra constante C, obtemos
xy = C.
Se você quiser a forma explícita para y, isolamos y:
y=\frac{C}{x},\qquad x\neq 0.
Uma checagem rápida: derivando implicitamente xy=C y\,dx + x\,dy = 0, que é a equação original — portanto está tudo correto.

Resposta

xy=C (equivalente a y=\dfrac{C}{x}, x\neq 0).

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