Verifique que é exata e resolva.
Passo 1
O enunciado pede: verificar que a equação diferencial
é exata e, em seguida, resolver essa equação (encontrar a solução geral). Dados importantes extraídos do enunciado:
Passo 2
O que significa “ser exata”? Vou explicar devagar: uma equação diferencial escrita como
é exata se existir uma função
(chamada função potencial) tal que
Quando
é duas vezes diferenciável, isso implica a condição
porque as derivadas mistas de
coincidem. Essa é a condição prática que usamos para verificar exatidão.
Passo 3
Vamos aplicar a verificação: calcule as derivadas parciais relevantes.
Como
, a equação é exata. Boa: verificação pronta.
Passo 4
Agora, para resolver pelo método das exatas, buscamos
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
(porque ao integrar em
tratamos
como constante).
Passo 5
Agora usamos a outra condição
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Igualamos isso a
:
Portanto
é uma constante:
. Assim a função potencial é
Passo 6
A solução geral implícita da equação exata é
constante. Absorvendo
em outra constante
, obtemos
Se você quiser a forma explícita para
, isolamos
:
Uma checagem rápida: derivando implicitamente
dá
, que é a equação original — portanto está tudo correto.