Verifique que é exata e resolva.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial
é exata e, em seguida, resolver essa equação (ou seja, encontrar a solução geral).
Informações dadas que vamos usar: a forma diferencial pode ser escrita como
Informações dadas que vamos usar: a forma diferencial pode ser escrita como
com
e
. Não há outras informações fornecidas.
Passo 2
O que significa ser exata e como testamos isso (explicação didática):
Uma forma diferencial é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma forma diferencial
Uma condição prática (teste de exatidão) é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Aqui,
significa a derivada de
em relação a
mantendo
fixo, e análogo para
.
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso caso:
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
em toda a região considerada, a condição de exatidão é satisfeita; portanto a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe
com
Integramos em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(explico: ao integrar em
podemos somar qualquer função que dependa apenas de
porque sua derivada parcial em
é zero).
Agora usamos a outra condição
. Calculamos
e impomos que isso seja igual a
. Assim
Integramos em relação a
:
Podemos absorver
na constante final da solução implícita, então tomamos
. Portanto a função potencial é
Passo 5
A solução geral implícita de uma equação exata é
. Assim obtemos a solução geral
onde
é uma constante arbitrária. (Observação rápida: se você preferir resolver por separação de variáveis, basta escrever
e integrar para obter
, que é a mesma relação reescrita.)