Verifique que é exata e resolva.
d x+\cos y d y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial
d x+\cos y\,d y=0
é exata e, em seguida, resolver essa equação (ou seja, encontrar a solução geral).
Informações dadas que vamos usar: a forma diferencial pode ser escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M(x,y)=1 e N(x,y)=\cos y. Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

O que significa ser exata e como testamos isso (explicação didática):
Uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática (teste de exatidão) é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui, \frac{\partial M}{\partial y} significa a derivada de M em relação a y mantendo x fixo, e análogo para \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 3

Aplicando o teste ao nosso caso: M(x,y)=1 e N(x,y)=\cos y. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\cos y)=0.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=0 em toda a região considerada, a condição de exatidão é satisfeita; portanto a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe \psi(x,y) com
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)=1.
Integramos em relação a x (tratando y como constante):
\psi(x,y)=\int 1\,dx = x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (explico: ao integrar em x podemos somar qualquer função que dependa apenas de y porque sua derivada parcial em x é zero).
Agora usamos a outra condição \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y). Calculamos
\frac{\partial \psi}{\partial y}=h'(y),
e impomos que isso seja igual a N(x,y)=\cos y. Assim
h'(y)=\cos y.
Integramos em relação a y:
h(y)=\int \cos y\,dy = \sin y + C_0.
Podemos absorver C_0 na constante final da solução implícita, então tomamos h(y)=\sin y. Portanto a função potencial é
\psi(x,y)=x+\sin y.

Passo 5

A solução geral implícita de uma equação exata é \psi(x,y)=\text{constante}. Assim obtemos a solução geral
x+\sin y = C,
onde C é uma constante arbitrária. (Observação rápida: se você preferir resolver por separação de variáveis, basta escrever dx=-\cos y\,dy e integrar para obter x=-\sin y + C, que é a mesma relação reescrita.)

Resposta

x+\sin y=C

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