Resolva as equações.
frac{3 x+5}{4 x-5}=-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação
\frac{3x+5}{4x-5} = -3.
Informações importantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • Há uma restrição óbvia: o denominador não pode ser zero. Então devemos ter 4x-5 \neq 0, isto é x \neq \dfrac{5}{4}.
    A tarefa é resolver a equação e dar os valores de x que a satisfazem (se houver).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma fração igual a um número, podemos “multiplicar ambos os lados pelo denominador” para eliminar a fração, desde que esse denominador não seja zero. Em termos gerais, de \dfrac{A}{B}=C segue A=BC se B\neq 0.
Aplicando isso aqui, multiplicamos ambos os lados da equação por 4x-5 (lembrando que já verificamos que não vamos permitir 4x-5=0):
3x+5 = -3(4x-5).

Passo 3

Agora desenvolvemos o produto no lado direito usando a propriedade distributiva (multiplicar -3 por cada termo dentro dos parênteses):
-3(4x-5) = -3\cdot 4x + (-3)\cdot(-5) = -12x + 15.
Portanto a equação fica
3x+5 = -12x+15.

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm x num mesmo lado e os termos numéricos no outro. Para isso somamos 12x aos dois lados e subtraímos 5 dos dois lados:
3x+12x = 15-5.
Isto dá
15x = 10.

Passo 5

Isolamos x dividindo ambos os lados por 15:
x = \frac{10}{15}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 5:
x = \frac{2}{3}.

Passo 6

Verificação (sempre faça isto na prova para evitar armadilhas): substituir x=\dfrac{2}{3} na equação original.
  • Numerador: 3\cdot\frac{2}{3}+5 = 2+5 = 7.
  • Denominador: 4\cdot\frac{2}{3}-5 = \frac{8}{3}-5 = \frac{8-15}{3} = -\frac{7}{3}.
    A fração fica
\frac{7}{-\tfrac{7}{3}} = 7\cdot\left(-\frac{3}{7}\right) = -3,
que é exatamente o lado direito da equação. Além disso x=\dfrac{2}{3} não é a proibição x\neq\dfrac{5}{4}. Logo a solução é válida.

Resposta

x=\dfrac{2}{3}

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