Resolva as equações e inequações com módulos.
\left|\frac{6}{x-2}\right| \leq|x+3|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com módulo
\left|\frac{6}{x-2}\right| \le |x+3|.
Aqui o que precisamos é manipular módulos, cuidar do domínio x\neq2 e transformar tudo numa inequação polinomial.

Passo 2

Como x\neq2, temos |x-2|>0. Podemos multiplicar os dois lados de
\left|\frac{6}{x-2}\right| \le |x+3|
por |x-2| sem inverter o sinal, obtendo
6 \le |x+3|\;\bigl|x-2\bigr| = \bigl|(x+3)(x-2)\bigr|.
Isto é equivalente a
\bigl|\,x^2 + x - 6\bigr| \ge 6.

Passo 3

Resolvemos \bigl|x^2 + x - 6\bigr|\ge6 em dois casos:
Caso A: x^2 + x - 6 \ge 6.
Então
x^2 + x - 6 \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 12 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+4)(x-3)\ge0,
cuja solução é
x \le -4 \quad\text{ou}\quad x \ge 3.
Caso B: x^2 + x - 6 \le -6.
Então
x^2 + x - 6 \le -6 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x+1)\le0,
cuja solução é
-1 \le x \le 0.

Passo 4

Unindo as duas soluções e lembrando que x\neq2 (mas 2 não aparece nos intervalos abaixo), temos
x \in (-\infty, -4]\;\cup\;[-1,0]\;\cup\;[3,\infty).

Resposta

(-\infty, -4]\;\cup\;[-1,0]\;\cup\;[3,\infty).

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