Resolva as equações e inequações com módulos.
2 x-\left|\frac{3}{x+1}\right|<3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com módulo
2x - \Bigl|\frac{3}{x+1}\Bigr| < 3.
O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto e cuidado com domínio. Note que x\neq -1.

Passo 2

Isolamos o termo com módulo. Somando \bigl|\frac{3}{x+1}\bigr| em ambos os lados e subtraindo 3, vem
2x - 3 < \Bigl|\frac{3}{x+1}\Bigr|.

Passo 3

Observe dois casos segundo o sinal de 2x-3.
Caso 1: 2x-3<0 (isto é, x<\tfrac32).
Nesse caso o lado esquerdo é negativo e o lado direito, sendo um valor absoluto, é \ge0. Logo
2x-3<0\;\Longrightarrow\;2x-3<\Bigl|\tfrac{3}{x+1}\Bigr|
é sempre verdade para todo x<\tfrac32, salvo o ponto x=-1 que não está no domínio.
Portanto, de x<\tfrac32 fica solução
(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,\tfrac32).

Passo 4

Caso 2: 2x-3\ge0 (isto é, x\ge\tfrac32).
Então a inequação fica
\Bigl|\frac{3}{x+1}\Bigr|>2x-3\ge0,
permitindo elevar ao quadrado sem inverter o sentido:
\frac{9}{(x+1)^2}>(2x-3)^2 \;\Longrightarrow\; 9>(2x-3)^2\,(x+1)^2 \;\Longrightarrow\; \bigl|(2x-3)(x+1)\bigr|<3.

Passo 5

Defina f(x)= (2x-3)(x+1)=2x^2 - x -3. A condição \bigl|f(x)\bigr|<3 equivale a
-3<2x^2 - x -3<3.
Isso gera duas inequações:
  1. 2x^2 - x -3<3\quad \Longrightarrow 2x^2 - x -6<0 cujas raízes são x=-\tfrac32 e x=2, então
-\tfrac32 < x < 2.
  1. 2x^2 - x -3>-3\quad \Longrightarrow 2x^2 - x>0 que se fatoriza em x(2x-1)>0, dando
x<0\quad\text{ou}\quad x>\tfrac12.
Intersectando ambos, obtemos
(-\tfrac32,2)\,\cap\,\bigl((-\infty,0)\cup(\tfrac12,\infty)\bigr) = (-\tfrac32,0)\,\cup\,(\tfrac12,2).

Passo 6

Ainda em Caso 2 precisamos de x\ge\tfrac32. Intersectando
\bigl((-\tfrac32,0)\cup(\tfrac12,2)\bigr)\cap[\tfrac32,\infty) = (\tfrac32,2).
Verificamos x=\tfrac32 satisfaz a inequação original, então incluímos esse ponto. O caso 2 dá solução
\Bigl[\tfrac32,2\Bigr).

Passo 7

Unindo os resultados dos dois casos, excluindo sempre x=-1, obtemos
(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,\tfrac32)\,\cup\,[\tfrac32,2) = (-\infty,-1)\,\cup\,(-1,2).

Resposta

\boxed{(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,2)}.

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