Resolva as equações e inequações com módulos.
\left|x-\frac{12}{x}\right|>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \displaystyle \bigl|x - \tfrac{12}{x}\bigr| > 1.
O conteúdo é inequação com módulo e fração, então primeiro identificamos o domínio x\neq0 e depois vamos separar em casos conforme o sinal de x.

Passo 2

Reescrevemos
\bigl|x - \tfrac{12}{x}\bigr| = \Bigl|\frac{x^2 - 12}{x}\Bigr| = \frac{|x^2 - 12|}{|x|}.
A inequação \frac{|x^2 - 12|}{|x|} > 1 equivale a
|x^2 - 12| > |x|.

Passo 3

Caso x>0: então |x|=x e a inequação vira
|x^2 - 12| > x.
Há dois subcasos:
Subcaso 3.1: x^2 - 12 \ge 0 (ou seja x\ge\sqrt{12}).
Então |x^2 - 12| = x^2 - 12 e
x^2 - 12 > x \;\Longleftrightarrow\; x^2 - x - 12 > 0.
As raízes são x=4 e x=-3, e a parábola é positiva para x>4. Intersectando com x\ge\sqrt{12}\approx3,46, obtemos
x > 4.
Subcaso 3.2: x^2 - 12 < 0 (ou seja 0<x<\sqrt{12}).
Então |x^2 - 12| = 12 - x^2 e
12 - x^2 > x \;\Longleftrightarrow\; x^2 + x - 12 < 0.
As raízes são x=3 e x=-4, e a parábola é negativa em -4<x<3. Intersectando com 0<x<\sqrt{12}, fica
0 < x < 3.
Logo, para x>0 a solução é
0 < x < 3\quad\cup\quad x > 4.

Passo 4

Caso x<0: então |x|=-x e a inequação vira
|x^2 - 12| > -x.
De novo dois subcasos:
Subcaso 4.1: x^2 - 12 \ge 0 (ou seja x\le -\sqrt{12}).
Então |x^2 - 12| = x^2 - 12 e
x^2 - 12 > -x \;\Longleftrightarrow\; x^2 + x - 12 > 0.
As raízes são x=3 e x=-4, e a parábola é positiva para x<-4. Intersectando com x\le -\sqrt{12}\approx-3,46, resulta
x < -4.
Subcaso 4.2: x^2 - 12 < 0 (ou seja -\sqrt{12}<x<\sqrt{12} e x<0).
Então |x^2 - 12| = 12 - x^2 e
12 - x^2 > -x \;\Longleftrightarrow\; x^2 - x - 12 < 0.
As raízes são x=4 e x=-3, e a parábola é negativa em -3<x<4. Intersectando com -\sqrt{12}<x<0, obtemos
-3 < x < 0.
Logo, para x<0 a solução é
x < -4\quad\cup\quad -3 < x < 0.

Passo 5

Unindo os resultados dos casos x>0 e x<0 e lembrando que x\neq0, a solução geral é
(-\infty,-4)\;\cup\;(-3,0)\;\cup\;(0,3)\;\cup\;(4,\infty).

Resposta

(-\infty,-4)\;\cup\;(-3,0)\;\cup\;(0,3)\;\cup\;(4,\infty).

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