Resolva as equações e inequações com módulos.
\left|x-\frac{12}{x}\right|>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ, com x\neq0, a inequação com valor absoluto
\left|\,x - \frac{12}{x}\right| > 1.
Aqui vamos usar a propriedade de módulos em quocientes e transformar em inequação algébrica quadrática em x^2.

Passo 2

Como x\neq0, podemos escrever
\left|\,x - \frac{12}{x}\right| = \left|\frac{x^2 - 12}{x}\right| = \frac{\bigl|x^2 - 12\bigr|}{\lvert x\rvert}.
Logo a inequação fica
\frac{\bigl|x^2 - 12\bigr|}{\lvert x\rvert} > 1.
Multiplicando ambos os lados por \lvert x\rvert>0, obtemos
\bigl|x^2 - 12\bigr| > \lvert x\rvert.

Passo 3

Para eliminar o módulo, elevamos ambos os lados ao quadrado (sabendo que são não negativos):
\bigl(x^2 - 12\bigr)^2 > x^2.
Expandindo e reorganizando, dá
x^4 -24x^2 +144 > x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^4 -25x^2 +144 > 0.

Passo 4

Fazendo a substituição t = x^2 (com t\ge0), a inequação vira
t^2 -25t +144 > 0.
O discriminante é
\Delta = (-25)^2 - 4\cdot1\cdot144 = 625 - 576 = 49,
com raízes
t = \frac{25 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; t_1 = 9, \quad t_2 = 16.
Como a parábola de coeficiente líder positivo é >0 para t<9 ou t>16, temos
x^2 < 9 \quad\text{ou}\quad x^2 > 16.

Passo 5

Voltando a x, isso equivale a
|x| < 3 \quad\text{ou}\quad |x| > 4,
sempre lembrando que x\neq0. Em termos de intervalos reais, a solução é
(-\infty, -4)\,\cup\,(-3,0)\,\cup\,(0,3)\,\cup\,(4,\infty).

Resposta

(-\infty, -4)\,\cup\,(-3,0)\,\cup\,(0,3)\,\cup\,(4,\infty).

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