Resolva as equações.
j) \left|x^{2}-1\right|=\left|3 x^{2}-27\right|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valores absolutos
\left|x^{2}-1\right|=\left|3x^{2}-27\right|.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (número real).
  • Os módulos envolvem as expressões \,x^{2}-1 e \,3x^{2}-27.
  • A solução deve conter todos os x reais que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Uma propriedade muito útil para equações do tipo \left|A\right|=\left|B\right| é:
\left|A\right|=\left|B\right|\iff A=B\quad\text{ou}\quad A=-B.
Explicação curta e intuitiva: o módulo transforma um número em sua distância até zero, então dois números têm o mesmo módulo se são iguais ou simétricos (um é o negativo do outro). Formalmente, a igualdade de módulos é equivalente a A^{2}=B^{2}, o que dá A=B ou A=-B.
Aplicando isso ao nosso caso, basta resolver as duas equações sem módulo:
x^{2}-1=3x^{2}-27 \qquad\text{e}\qquad x^{2}-1=-(3x^{2}-27).

Passo 3

Resolver a primeira possibilidade x^{2}-1=3x^{2}-27.
Começando por isolar os termos:
x^{2}-1=3x^{2}-27
Subtraindo 3x^{2} de ambos os lados:
x^{2}-3x^{2}-1=-27
Simplificando:
-2x^{2}-1=-27
Somando 1 em ambos os lados:
-2x^{2}=-26
Dividindo por -2:
x^{2}=13
Portanto
x=\pm\sqrt{13}.

Passo 4

Resolver a segunda possibilidade x^{2}-1=-(3x^{2}-27).
Começando:
x^{2}-1=-3x^{2}+27
Somando 3x^{2} em ambos os lados:
x^{2}+3x^{2}-1=27
Simplificando:
4x^{2}-1=27
Somando 1 em ambos os lados:
4x^{2}=28
Dividindo por 4:
x^{2}=7
Portanto
x=\pm\sqrt{7}.

Passo 5

Verificação rápida (útil para garantir que não houve erro algébrico):
Como as expressões dependem apenas de x^{2}, basta checar para x^{2}=13 e x^{2}=7.
Para x^{2}=13:
\left|x^{2}-1\right|=\left|13-1\right|=12, \qquad \left|3x^{2}-27\right|=\left|39-27\right|=12,
iguais, logo x=\pm\sqrt{13} são soluções.
Para x^{2}=7:
\left|x^{2}-1\right|=\left|7-1\right|=6, \qquad \left|3x^{2}-27\right|=\left|21-27\right|=6,
iguais, logo x=\pm\sqrt{7} são soluções.

Resposta

x=\pm\sqrt{13}
x=\pm\sqrt{7}

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