Resolva as equações.
b) 2|x|^{2}-7|x|+3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2|x|^{2}-7|x|+3=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é x (presumivelmente real).
  • A equação envolve apenas a expressão |x|.
  • Precisa-se encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Ideia para transformar o problema em algo mais simples: note que só aparece |x|. Então é comum fazer a substituição
y = |x|.
Explicação do porquê: |x| é sempre um número não negativo; portanto a nova variável y representa esse valor e satisfaz
y \ge 0.
Com essa substituição a equação em x vira uma equação polinomial em y, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando y=|x| obtemos a equação quadrática
2y^{2}-7y+3=0.
Aqui estamos no formato padrão de uma equação quadrática \,a y^{2}+b y + c = 0, com os coeficientes
a = 2,\qquad b = -7,\qquad c = 3.
Explicação: a, b, c são os números que multiplicam y^2, y e o termo independente, respectivamente.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática vamos usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para as raízes de
a y^{2}+b y + c = 0
é
y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (o discriminante) é definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
Explicação: \Delta indica a natureza das raízes — se \Delta<0 não há raízes reais, se \Delta=0 há uma raiz real dupla, se \Delta>0 há duas raízes reais distintas.

Passo 5

Calculemos \Delta e as raízes para os nossos coeficientes:
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot 2\cdot 3 = 49-24 = 25.
Como \Delta = 25 > 0, haverá duas raízes reais distintas. Agora as raízes são
y = \frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2} = \frac{7\pm 5}{4}.
Isso dá
y_{1} = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3, \qquad y_{2} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Lembrar da condição da substituição: y=|x| e portanto y\ge 0. As duas raízes obtidas y_{1}=3 e y_{2}=\tfrac{1}{2} são não negativas, então ambas são admissíveis.
Agora voltamos para x. Cada equação |x| = y fornece:
  • Se |x| = 3 então x = 3 ou x = -3.
  • Se |x| = \tfrac{1}{2} então x = \tfrac{1}{2} ou x = -\tfrac{1}{2}.
Observação: quando y=0 haveria só x=0, mas aqui não é o caso.

Passo 7

Portanto todos os valores de x que satisfazem a equação original são
x \in \{-3,\\\ -\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\\ 3\}.

Resposta

\{-3,\\\ -\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\\ 3\}

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