Resolva as equações.
e) \left|2 x^{2}-3\right|-x=3
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação \left|2 x^{2}-3\right|-x=3.
Informações dadas:
A incógnita é x.
A equação envolve valor absoluto \left|2x^{2}-3\right|.
Devemos encontrar todos os números reais x que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro isolo o valor absoluto para escrever a equação de forma mais clara:
\left|2x^{2}-3\right|=x+3.
Observação importante: o lado direito x+3 representa um número real que deve ser igual ao valor absoluto (que é sempre não negativo). Portanto é necessário ter
x+3\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge-3.
Qualquer solução encontrada que viole x\ge-3 deve ser descartada.
Passo 3
Para resolver uma equação com valor absoluto, fazemos os dois casos possíveis do interior do módulo.
Caso 1: 2x^{2}-3\ge0.
Essa condição é equivalente a
Neste caso \left|2x^{2}-3\right|=2x^{2}-3. Substituindo na equação:
2x^{2}-3=x+3.
Rearranjando:
2x^{2}-x-6=0.
Fatorando:
(2x+3)(x-2)=0.
Portanto as raízes são
x=2\quad\text{e}\quad x=-\tfrac{3}{2}.
Agora verifico se cada uma satisfaz a condição do caso (|x|\ge\sqrt{3/2}) e a condição x\ge-3:
Para x=2: |2|=2\ge\sqrt{\tfrac{3}{2}} e 2\ge-3. Portanto o candidato x=2 é compatível com as hipóteses deste caso.
Para x=-\tfrac{3}{2}: |-\tfrac{3}{2}|=\tfrac{3}{2}\ge\sqrt{\tfrac{3}{2}} e -\tfrac{3}{2}\ge-3. Portanto x=-\tfrac{3}{2} também é compatível com as hipóteses deste caso.