Resolva as equações.
e) \left|2 x^{2}-3\right|-x=3

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação \left|2 x^{2}-3\right|-x=3.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve valor absoluto \left|2x^{2}-3\right|.
  • Devemos encontrar todos os números reais x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro isolo o valor absoluto para escrever a equação de forma mais clara:
\left|2x^{2}-3\right|=x+3.
Observação importante: o lado direito x+3 representa um número real que deve ser igual ao valor absoluto (que é sempre não negativo). Portanto é necessário ter
x+3\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge-3.
Qualquer solução encontrada que viole x\ge-3 deve ser descartada.

Passo 3

Para resolver uma equação com valor absoluto, fazemos os dois casos possíveis do interior do módulo.
Caso 1: 2x^{2}-3\ge0.
Essa condição é equivalente a
2x^{2}\ge3\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad |x|\ge\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
Neste caso \left|2x^{2}-3\right|=2x^{2}-3. Substituindo na equação:
2x^{2}-3=x+3.
Rearranjando:
2x^{2}-x-6=0.
Fatorando:
(2x+3)(x-2)=0.
Portanto as raízes são
x=2\quad\text{e}\quad x=-\tfrac{3}{2}.
Agora verifico se cada uma satisfaz a condição do caso ( |x|\ge\sqrt{3/2}) e a condição x\ge-3:
  • Para x=2: |2|=2\ge\sqrt{\tfrac{3}{2}} e 2\ge-3. Portanto o candidato x=2 é compatível com as hipóteses deste caso.
  • Para x=-\tfrac{3}{2}: |-\tfrac{3}{2}|=\tfrac{3}{2}\ge\sqrt{\tfrac{3}{2}} e -\tfrac{3}{2}\ge-3. Portanto x=-\tfrac{3}{2} também é compatível com as hipóteses deste caso.

Passo 4

Caso 2: 2x^{2}-3<0.
Essa condição é equivalente a
x^{2}<\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{\tfrac{3}{2}}<x<\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
Neste caso \left|2x^{2}-3\right|=-(2x^{2}-3)=3-2x^{2}. Substituindo na equação:
3-2x^{2}=x+3.
Simplificando:
-2x^{2}-x=0\quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+x=0.
Fatorando:
x(2x+1)=0.
Portanto as raízes são
x=0\quad\text{e}\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Agora verifico se cada uma satisfaz a condição do caso ( -\sqrt{3/2}<x<\sqrt{3/2}) e x\ge-3:
  • Para x=0: 0 está no intervalo -\sqrt{\tfrac{3}{2}}<0<\sqrt{\tfrac{3}{2}} e 0\ge-3. Então x=0 é compatível.
  • Para x=-\tfrac{1}{2}: -\tfrac{1}{2} também está no intervalo e -\tfrac{1}{2}\ge-3. Então x=-\tfrac{1}{2} é compatível.

Passo 5

Verificação direta (substituir cada candidato na equação original) para garantir que não houve erro:
  • Para x=2:
\left|2\cdot 2^{2}-3\right|-2=\left|8-3\right|-2=|5|-2=5-2=3.
  • Para x=-\tfrac{3}{2}:
\left|2\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-3\right|-(-\tfrac{3}{2}) =\left|2\cdot\tfrac{9}{4}-3\right|+\tfrac{3}{2} =\left|\tfrac{9}{2}-3\right|+\tfrac{3}{2} =\left|\tfrac{3}{2}\right|+\tfrac{3}{2} =\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}=3.
  • Para x=0:
\left|2\cdot 0^{2}-3\right|-0=\left|-3\right|=3.
  • Para x=-\tfrac{1}{2}:
\left|2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-3\right|-(-\tfrac{1}{2}) =\left|2\cdot\tfrac{1}{4}-3\right|+\tfrac{1}{2} =\left|\tfrac{1}{2}-3\right|+\tfrac{1}{2} =\left|-\tfrac{5}{2}\right|+\tfrac{1}{2} =\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2}=3.
Todas as quatro substituições produzem 3, logo todos os candidatos são soluções válidas.

Resposta

-\tfrac{3}{2}
-\tfrac{1}{2}
0
2

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