A matriz dentro do determinante é a matriz 3\times3 com elementos na diagonal principais \,x,\;x+1,\;2x-1.
Os elementos abaixo da diagonal principal são zeros (ou seja, as entradas (2,1) e (3,1) e (3,2) são 0).
O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam o determinante igual a zero.]
Passo 2
Observação importante (útil para resolver): quando uma matriz é triangular (todos os elementos abaixo — ou todos acima — da diagonal principal são zeros), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a matriz é triangular superior porque os elementos abaixo da diagonal são zeros.
Explicação didática rápida (prova direta para este caso 3\times3): vamos calcular o determinante expandindo pela primeira coluna. Pela regra de desenvolvimento por cofatores, o determinante vale o elemento x vezes o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna, menos os outros termos que aqui são multiplicados por zeros. Assim,
Aqui usamos a propriedade do produto nulo (zero): se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Logo devemos resolver as equações lineares obtidas ao anular cada fator.
Passo 5
Resolva cada fator igual a zero:
x=0. Já é uma solução.
x+1=0. Isolando x:
x = -1.
2x-1=0. Isolando x:
2x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1}{2}.
Passo 6
Verificação rápida (para dar segurança): substituir cada solução na diagonal faz com que pelo menos um dos três fatores da diagonal seja zero, portanto o produto (o determinante) fica zero. Assim as três soluções são válidas e distintas.