Resolva as equações:
\left|\begin{array}{ccc}x & 5 & 7 \\\\ 0 & x+1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 2 x-1\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|\begin{matrix}x & 5 & 7 \\[4pt] 0 & x+1 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 2x-1\end{matrix}\right|=0.
Informações dadas:
  • A matriz dentro do determinante é a matriz 3\times3 com elementos na diagonal principais \,x,\;x+1,\;2x-1.
  • Os elementos abaixo da diagonal principal são zeros (ou seja, as entradas (2,1) e (3,1) e (3,2) são 0).
  • O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam o determinante igual a zero.]

Passo 2

Observação importante (útil para resolver): quando uma matriz é triangular (todos os elementos abaixo — ou todos acima — da diagonal principal são zeros), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a matriz é triangular superior porque os elementos abaixo da diagonal são zeros.
Explicação didática rápida (prova direta para este caso 3\times3): vamos calcular o determinante expandindo pela primeira coluna. Pela regra de desenvolvimento por cofatores, o determinante vale o elemento x vezes o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna, menos os outros termos que aqui são multiplicados por zeros. Assim,
\left|\begin{matrix}x & 5 & 7 \\[4pt] 0 & x+1 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 2x-1\end{matrix}\right| = x\cdot \left|\begin{matrix}x+1 & 6 \\[4pt] 0 & 2x-1\end{matrix}\right|.
Isso simplifica porque os outros cofatores na primeira coluna são multiplicados por zeros.]

Passo 3

Agora calculamos o determinante 2\times2 que apareceu:
\left|\begin{matrix}x+1 & 6 \\[4pt] 0 & 2x-1\end{matrix}\right| = (x+1)(2x-1) - 6\cdot 0 = (x+1)(2x-1).
Portanto o determinante original é o produto dos três termos da diagonal:
\left|\begin{matrix}x & 5 & 7 \\[4pt] 0 & x+1 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 2x-1\end{matrix}\right| = x\,(x+1)\,(2x-1).]

Passo 4

A equação pedida fica então
x\,(x+1)\,(2x-1)=0.
Aqui usamos a propriedade do produto nulo (zero): se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Logo devemos resolver as equações lineares obtidas ao anular cada fator.

Passo 5

Resolva cada fator igual a zero:
  1. x=0. Já é uma solução.
  2. x+1=0. Isolando x:
x = -1.
  1. 2x-1=0. Isolando x:
2x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (para dar segurança): substituir cada solução na diagonal faz com que pelo menos um dos três fatores da diagonal seja zero, portanto o produto (o determinante) fica zero. Assim as três soluções são válidas e distintas.

Resposta

x=0
x=-1
x=\dfrac{1}{2}

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