Resolva pelo método de variação de parâmetros:
y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{tg} x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y = 2\tan x
pelo método de variação de parâmetros. O conteúdo envolve: (1) obter a solução geral da equação homogênea associada, (2) calcular o Wronskiano das soluções fundamentais, (3) usar as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular e (4) escrever a solução geral.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 4y = 0
o polinômio característico é r^2+4=0, com raízes r=\pm2i. Logo as soluções fundamentais são
y_1(x)=\cos2x, \quad y_2(x)=\sin2x,
e a solução geral homogênea é
y_h = C_1\cos2x + C_2\sin2x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y_1 e y_2:
W = \begin{vmatrix} \cos2x & \sin2x\\\\ -2\sin2x & 2\cos2x \end{vmatrix} =2\bigl(\cos^2 2x+\sin^2 2x\bigr)=2.

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u_1' = -\frac{y_2\cdot (2\tan x)}{W} ,\quad u_2' = \frac{y_1\cdot (2\tan x)}{W}.
Substituindo y_1,y_2,W:
u_1' = -\frac{\sin2x\cdot 2\tan x}{2} = -\sin2x\,\tan x, \quad u_2' = \frac{\cos2x\cdot 2\tan x}{2} = \cos2x\,\tan x.

Passo 5

Integramos u_1':
u_1' = -\sin2x\,\frac{\sin x}{\cos x} = -2\sin^2x = \cos2x - 1.
Logo
u_1 = \int(\cos2x - 1)\,dx = \tfrac12\sin2x - x.

Passo 6

Integramos u_2':
u_2' = \cos2x\,\frac{\sin x}{\cos x} = \sin2x - \tan x.
Logo
u_2 = \int(\sin2x - \tan x)\,dx = -\tfrac12\cos2x + \ln\bigl|\cos x\bigr|.

Passo 7

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \bigl(\tfrac12\sin2x - x\bigr)\cos2x + \Bigl(-\tfrac12\cos2x + \ln|\cos x|\Bigr)\sin2x.
Os termos \tfrac12\sin2x\cos2x cancelam, sobrando
y_p = -x\cos2x + \sin2x\;\ln\bigl|\cos x\bigr|.
Portanto a solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(x) = C_1\cos2x + C_2\sin2x - x\cos2x + \sin2x\;\ln\bigl|\cos x\bigr|.

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