Resolva as equações lineares
d yd x+(x+1) y=2 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + (x+1),y = 2x+2
O conteúdo é resolução de ODEs lineares usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
em que P(x)=x+1 e Q(x)=2x+2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral (x+1),dx = e^x^22 + x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^x^22+x,y' + (x+1),e^x^22+x,y = (2x+2),e^x^22+x
O lado esquerdo é a derivada exata de mu(x),y.

Passo 5

Reconhecemos
ddxl(e^x^22+x,yr) = (2x+2),e^x^22+x

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
e^x^22+x,y = integral (2x+2),e^x^22+x,dx + C
Como ddxl(tfracx^22+xr)=x+1, temos
(2x+2),e^x^22+x =2(x+1),e^x^22+x =2,ddx!l(e^x^22+xr),
logo a integral é
integral (2x+2),e^x^22+x,dx =2,e^x^22+x+C

Passo 7

Substituindo de volta:
e^x^22+x,y = 2,e^x^22+x + C Longrightarrow y = 2 + C,e^-l(x^22+xr)

Resposta

y(x) = 2 + C,e^-x^22-x,
em que C é constante arbitrária.

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