Mostrar que a função dada é um fator integrante e resolver:
3(y+1) d x=2 x d y, F(x, y)=y+1x^4

Passo 1

Enunciado: Temos a equação diferencial de primeira ordem
3(y+1),dx = 2x,dy
Queremos mostrar que a função
F(x,y)=y+1x^4
é um fator integrante e, em seguida, resolver a EDO resultante.

Passo 2

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante F(x,y)=tfracy+1x^4. Assim obtemos uma forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=3(y+1)cdoty+1x^4=3(y+1)^2x^4,
N(x,y)=-2xcdoty+1x^4=-2(y+1)x^3

Passo 3

Verificação da exatidão: calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=6(y+1)x^4,
partial Npartial x= -2(y+1)cdotl(-3r),x^-4=6(y+1)x^4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata.

Passo 4

Construção da função potencial Psi(x,y): integremos M em relação a x:
Psi(x,y)=integral 3(y+1)^2x^4,dx = 3(y+1)^2 cdot(-13x^-3)+h(y)= -(y+1)^2x^3+h(y)
Derivando Psi em relação a y e igualando a N:
partial Psipartial y=-2(y+1)x^3+h'(y)= -2(y+1)x^3 ,Rightarrow,h'(y)=0
Logo h é constante.

Passo 5

Solução geral implícita: da função potencial temos
Psi(x,y) = -(y+1)^2x^3 = C,
que podemos reescrever como
(y+1)^2 = C',x^3,
onde C'=-C é constante arbitrária.

Resposta

(y+1)^2 = C,x^3

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