Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e perguntas implícitas:
- A incógnita é
. - A expressão dentro do logaritmo é
. - Precisamos encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação (ou seja, resolver para ). - Importante: o enunciado implica que devemos respeitar o domínio do logaritmo (o argumento do logaritmo deve ser positivo e o denominador não pode ser zero).
Passo 2
Determinar o domínio (condições que
precisa satisfazer antes de qualquer manipulação).
- Um logaritmo
está definido somente se e com . Aqui a base é , que é válida ( e ). - Então exigimos
e também
(para não ter divisão por zero).
- Vamos analisar o sinal de
. Zeros e pontos críticos ocorrem em (numerador zero) e (denominador zero). - Faça um quadro de sinais (ou raciocínio por intervalos):
- Para
: numerador , denominador ⇒ quociente . - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente . - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente .
- Para
- Portanto o domínio permitido é
Passo 3
Converter a equação logarítmica em forma exponencial — passo chave e fórmulas usadas.
- Lembrete útil: a definição básica do logaritmo diz que
desde que
,
e
.
- Aplicando isso à nossa equação
, obtemos
Passo 4
Resolver a equação exponencial obtida.
- Sabendo que
, temos
- Multiplique ambos os lados por
(lembrando que , já observado no domínio):
- Desenvolvendo o lado direito:
- Isolando
: passe para um lado e os números para o outro.
Passo 5
Verificar a solução encontrada em relação ao domínio e na equação original.
- Verificação do domínio:
pertence ao intervalo , portanto está no domínio permitido. - Substituição na expressão do logaritmo:
- Então a equação original fica
, e sabemos que . Logo satisfaz a equação.
Passo 6
Concluir e afirmar que não há outras soluções.
- A transformação logaritmo → exponencial é bijetora no domínio válido, e a resolução linear deu um único candidato
. - Como
está no domínio e satisfaz a equação, é a única solução.