Resolva as equações:
\log _{3} \frac{x+3}{x-1}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{3}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)=1.
Informações dadas e perguntas implícitas:
  • A incógnita é \,x.
  • A expressão dentro do logaritmo é \dfrac{x+3}{x-1}.
  • Precisamos encontrar todos os valores de \,x que satisfazem a equação (ou seja, resolver para \,x).
  • Importante: o enunciado implica que devemos respeitar o domínio do logaritmo (o argumento do logaritmo deve ser positivo e o denominador não pode ser zero).

Passo 2

Determinar o domínio (condições que \,x precisa satisfazer antes de qualquer manipulação).
  • Um logaritmo \log_{b}(A) está definido somente se A>0 e b>0 com b\neq1. Aqui a base é 3, que é válida ( 3>0 e 3\neq1).
  • Então exigimos
\frac{x+3}{x-1}>0
e também \,x\neq1 (para não ter divisão por zero).
  • Vamos analisar o sinal de \dfrac{x+3}{x-1}. Zeros e pontos críticos ocorrem em \,x=-3 (numerador zero) e \,x=1 (denominador zero).
  • Faça um quadro de sinais (ou raciocínio por intervalos):
    • Para x<-3: numerador x+3<0, denominador x-1<0 ⇒ quociente >0.
    • Para -3<x<1: numerador >0, denominador <0 ⇒ quociente <0.
    • Para x>1: numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
  • Portanto o domínio permitido é
x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty).

Passo 3

Converter a equação logarítmica em forma exponencial — passo chave e fórmulas usadas.
  • Lembrete útil: a definição básica do logaritmo diz que
\log_{b}(A)=C \quad\Longleftrightarrow\quad A=b^{C},
desde que A>0, b>0 e b\neq1.
  • Aplicando isso à nossa equação \log_{3}\!\left(\dfrac{x+3}{x-1}\right)=1, obtemos
\frac{x+3}{x-1}=3^{1}.

Passo 4

Resolver a equação exponencial obtida.
  • Sabendo que 3^{1}=3, temos
\frac{x+3}{x-1}=3.
  • Multiplique ambos os lados por (x-1) (lembrando que \,x\neq1, já observado no domínio):
x+3 = 3(x-1).
  • Desenvolvendo o lado direito:
x+3 = 3x - 3.
  • Isolando x: passe x para um lado e os números para o outro.
3 + 3 = 3x - x
6 = 2x
x = \frac{6}{2} = 3.

Passo 5

Verificar a solução encontrada em relação ao domínio e na equação original.
  • Verificação do domínio: \,x=3 pertence ao intervalo (1,\infty), portanto está no domínio permitido.
  • Substituição na expressão do logaritmo:
\frac{x+3}{x-1}\Bigg|_{x=3} = \frac{3+3}{3-1} = \frac{6}{2} = 3.
  • Então a equação original fica \log_{3}(3), e sabemos que \log_{3}(3)=1. Logo x=3 satisfaz a equação.

Passo 6

Concluir e afirmar que não há outras soluções.
  • A transformação logaritmo → exponencial é bijetora no domínio válido, e a resolução linear deu um único candidato \,x=3.
  • Como \,x=3 está no domínio e satisfaz a equação, é a única solução.

Resposta

x=3

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