Encontrar um número
tal que:
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um número
que satisfaça a equação
Informações dadas:
é uma incógnita real e deve ser positiva (
).
A equação envolve logaritmos na base :
e
.
O lado direito da equação é o número .
A equação envolve logaritmos na base
O lado direito da equação é o número
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental de logaritmos que vai facilitar muito a resolução. Para qualquer base
com
e
, e para números positivos
e
, vale:
Explicando cada símbolo:
é a base do logaritmo,
e
são os argumentos (devem ser positivos). A propriedade diz que somar dois logaritmos de mesma base é o mesmo que o logaritmo do produto dos argumentos. Exemplo simples:
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso (mesma base
, argumentos
e
), obtemos:
Portanto a equação vira
Passo 4
Agora usamos a definição de logaritmo: para
,
, e
,
Aqui
,
e
. Aplicando a equivalência:
Passo 5
Calcule
:
logo
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Também podemos escrever em forma decimal:
. Note que
é satisfeito.
Passo 6
Fazer uma verificação rápida substituindo de volta na equação original:
A igualdade confere, logo a solução está correta.