Encontrar um número \mathrm{x}>0 tal que: \log _{5} x+\log _{5} 2=2 :

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um número \mathrm{x}>0 que satisfaça a equação
\log_{5}\mathrm{x}+\log_{5}2=2.
Informações dadas:
\mathrm{x} é uma incógnita real e deve ser positiva ( \mathrm{x}>0).
A equação envolve logaritmos na base 5: \log_{5}\mathrm{x} e \log_{5}2.
O lado direito da equação é o número 2.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental de logaritmos que vai facilitar muito a resolução. Para qualquer base a com a>0 e a\neq 1, e para números positivos u e v, vale:
\log_{a}u+\log_{a}v=\log_{a}(u\cdot v).
Explicando cada símbolo: a é a base do logaritmo, u e v são os argumentos (devem ser positivos). A propriedade diz que somar dois logaritmos de mesma base é o mesmo que o logaritmo do produto dos argumentos. Exemplo simples: \log_{10}2+\log_{10}3=\log_{10}6.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso (mesma base 5, argumentos \mathrm{x} e 2), obtemos:
\log_{5}\mathrm{x}+\log_{5}2=\log_{5}(2\mathrm{x}).
Portanto a equação vira
\log_{5}(2\mathrm{x})=2.

Passo 4

Agora usamos a definição de logaritmo: para a>0, a\neq1, e b>0,
\log_{a}b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c}=b.
Aqui a=5, c=2 e b=2\mathrm{x}. Aplicando a equivalência:
5^{2}=2\mathrm{x}.

Passo 5

Calcule 5^{2}:
5^{2}=25,
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25=2\mathrm{x}.
Para isolar \mathrm{x}, dividimos ambos os lados por 2:
\mathrm{x}=\frac{25}{2}.
Também podemos escrever em forma decimal: \mathrm{x}=12{,}5. Note que \mathrm{x}>0 é satisfeito.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida substituindo de volta na equação original:
\log_{5}\!\left(\frac{25}{2}\right)+\log_{5}2=\log_{5}\!\left(\frac{25}{2}\cdot 2\right)=\log_{5}25=\log_{5}5^{2}=2.
A igualdade confere, logo a solução está correta.

Resposta

\mathrm{x}=\dfrac{25}{2}

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