Resolva as equações logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
O que nos é dado e o que precisamos encontrar:
- Dado: a equação acima envolvendo logaritmos com bases
e . - Procurar: todos os valores de
que satisfaçam a equação. - Informações relevantes (condições de existência dos logaritmos) que vêm do enunciado:
(porque só existe se ) e (porque exige argumento positivo).
Não vou resolver nada ainda; apenas listei a equação e as condições que devem ser verificadas.
Passo 2
Conhecimento útil (fórmula que vamos usar): se
, com
,
e
, então
. Essa é a definição/inversão do logaritmo: logaritmo e exponenciação são operações inversas. Aqui temos a igualdade
portanto podemos aplicar a propriedade acima com
,
e
. Isso nos dá
Calcule
:
logo
Passo 3
Agora aplicamos novamente a mesma propriedade de inversão do logaritmo, desta vez com
,
e
. Ou seja, de
segue
Calcule
:
logo
Assim
Passo 4
Verificação das condições de existência (checar se
atende às restrições do Passo 1):
- Primeiro,
, então está bem definido. - Segundo,
, então o argumento de é positivo e está bem definido.
Portantoé uma solução válida.
Observação didática rápida: como as basese são maiores que , as funções logarítmicas são estritamente crescentes, então não há outras soluções (a sequência de inversões exponenciais revelou a única possível).