Resolva as equações logarítmicas:
\log _{2}\left(\log _{3}(x-1)\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{2}\big(\log_{3}(x-1)\big)=2.
O que nos é dado e o que precisamos encontrar:
  • Dado: a equação acima envolvendo logaritmos com bases 2 e 3.
  • Procurar: todos os valores de x que satisfaçam a equação.
  • Informações relevantes (condições de existência dos logaritmos) que vêm do enunciado: x-1>0(porque \log_{3}(x-1) só existe se x-1>0) e \log_{3}(x-1)>0(porque \log_{2}(\cdot) exige argumento positivo).
    Não vou resolver nada ainda; apenas listei a equação e as condições que devem ser verificadas.

Passo 2

Conhecimento útil (fórmula que vamos usar): se \log_{a}(y)=c, com a>0, a\neq1 e y>0, então y=a^{c}. Essa é a definição/inversão do logaritmo: logaritmo e exponenciação são operações inversas. Aqui temos a igualdade
\log_{2}\big(\log_{3}(x-1)\big)=2,
portanto podemos aplicar a propriedade acima com a=2, y=\log_{3}(x-1) e c=2. Isso nos dá
\log_{3}(x-1)=2^{2}.
Calcule 2^{2}:
2^{2}=4,
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\log_{3}(x-1)=4.

Passo 3

Agora aplicamos novamente a mesma propriedade de inversão do logaritmo, desta vez com a=3, y=x-1 e c=4. Ou seja, de \log_{3}(x-1)=4 segue
x-1=3^{4}.
Calcule 3^{4}:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,
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x-1=81.
Assim
x=81+1=82.

Passo 4

Verificação das condições de existência (checar se x=82 atende às restrições do Passo 1):
  • Primeiro, x-1=82-1=81>0, então \log_{3}(x-1) está bem definido.
  • Segundo, \log_{3}(81)=4>0, então o argumento de \log_{2} é positivo e \log_{2}(\log_{3}(x-1)) está bem definido.
    Portanto x=82 é uma solução válida.
    Observação didática rápida: como as bases 2 e 3 são maiores que 1, as funções logarítmicas são estritamente crescentes, então não há outras soluções (a sequência de inversões exponenciais revelou a única possível).

Resposta

x=82

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