Resolva as equações logarítmicas:
Passo 1
O enunciado dá a equação
Pergunta-se: qual(is) os valor(es) de
que satisfazem essa equação?
Informações/condições fornecidas (importantes para o domínio):
Informações/condições fornecidas (importantes para o domínio):
- a base do logaritmo é
, logo precisamos de e ; isto é, - o argumento do logaritmo é
, que exige , ou seja, . (Note que para todo .)
Portanto o domínio permitido écom .
Passo 2
Isolamos o logaritmo subtraindo
de ambos os lados:
Aqui usei a propriedade aritmética simples de subtração. Agora temos uma igualdade do tipo
.
Passo 3
Lembrete de conceito (aula rápida): a definição/exponenciação do logaritmo diz que
contanto que
,
e
. Aplicando isso à nossa igualdade, com
,
e
, obtemos
Isso é simplesmente reescrever o logaritmo como uma potência.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque, no domínio,
), obtemos uma equação polinomial:
Posso escrever a função cuja raíz procuramos:
e queremos
, com
e
. Note que desenvolver o produto daria um polinômio de grau
, que é chato de fatorar simbolicamente; por isso vamos para métodos numéricos/intervalação para encontrar a(s) solução(ões) reais.
Passo 5
Vamos estudar o sinal de
para localizar possíveis raízes (teorema do valor intermediário). Calculo alguns valores simples:
- Para
: . Usando logaritmos (para avaliar rapidamente), logo , ou seja . - Para
: , então , ou seja .
Como ema expressão é menor que zero e em é maior que zero, existe pelo menos uma raiz em .
Também verificamos o intervalo negativo permitido
: para vários valores em
(por exemplo
,
,
) obtém-se
, isto é
. Portanto não há troca de sinal em
e, assim, nenhuma raiz nesse intervalo. Concluímos que existe exatamente uma raiz real no intervalo
, e mais precisamente entre
e
(pelo teste rápido abaixo).
Passo 6
Agora refinamos a raiz por um método numérico simples (método de Newton). Trabalhamos com a função
Sua derivada é
Escolho uma aproximação inicial
(estava entre 0{,}4 e 0{,}42). Avaliando:
-
, -
, -
, -
Aplicando Newton:
Passo 7
Uma iteração adicional de Newton (ou cálculo com logaritmos) dá um ajuste pequeno e leva à convergência rápida porque
é suave e
não é pequeno no ponto. Usando uma estimativa via logs:
para
obtemos
, o que mostra que
satisfaz
com alta precisão. Após mais um passo de Newton a solução fica aproximadamente