Resolva as equações logarítmicas:
\log _{(x+1)} x^{2}+7=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log_{(x+1)} x^{2} + 7 = 2.
Pergunta-se: qual(is) os valor(es) de x que satisfazem essa equação?
Informações/condições fornecidas (importantes para o domínio):
  • a base do logaritmo é x+1, logo precisamos de x+1>0 e x+1\neq 1; isto é, x>-1\quad\text{e}\quad x\neq 0;
  • o argumento do logaritmo é x^{2}, que exige x^{2}>0, ou seja, x\neq 0. (Note que x^{2}>0 para todo x\neq 0.)
    Portanto o domínio permitido é x>-1 com x\neq 0.

Passo 2

Isolamos o logaritmo subtraindo 7 de ambos os lados:
\log_{(x+1)} x^{2} = 2-7 = -5.
Aqui usei a propriedade aritmética simples de subtração. Agora temos uma igualdade do tipo \log_{a} b = c.

Passo 3

Lembrete de conceito (aula rápida): a definição/exponenciação do logaritmo diz que
\log_{a} b = c \quad\Longleftrightarrow\quad b = a^{c},
contanto que a>0, a\neq 1 e b>0. Aplicando isso à nossa igualdade, com a=x+1, b=x^{2} e c=-5, obtemos
x^{2} = (x+1)^{-5}.
Isso é simplesmente reescrever o logaritmo como uma potência.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{5} (válido porque, no domínio, x+1>0), obtemos uma equação polinomial:
x^{2}(x+1)^{5} = 1.
Posso escrever a função cuja raíz procuramos:
f(x)=x^{2}(x+1)^{5}-1,
e queremos f(x)=0, com x>-1 e x\neq 0. Note que desenvolver o produto daria um polinômio de grau 7, que é chato de fatorar simbolicamente; por isso vamos para métodos numéricos/intervalação para encontrar a(s) solução(ões) reais.

Passo 5

Vamos estudar o sinal de f(x) para localizar possíveis raízes (teorema do valor intermediário). Calculo alguns valores simples:
  • Para x=0{,}2: x+1=1{,}2. Usando logaritmos (para avaliar rapidamente), \log_{1{,}2}(0{,}2^{2})=\frac{\ln(0{,}04)}{\ln(1{,}2)}\approx\frac{-3{,}2189}{0{,}1823}\approx -17{,}66,logo \log_{x+1}x^{2}+7 \approx -17{,}66+7=-10{,}66<2, ou seja f(0{,}2)<0.
  • Para x=0{,}5: x+1=1{,}5, \log_{1{,}5}(0{,}5^{2})=\frac{\ln(0{,}25)}{\ln(1{,}5)}\approx\frac{-1{,}3863}{0{,}4055}\approx -3{,}418,então \log_{x+1}x^{2}+7\approx -3{,}418+7=3{,}582>2, ou seja f(0{,}5)>0.
    Como em x=0{,}2 a expressão é menor que zero e em x=0{,}5 é maior que zero, existe pelo menos uma raiz em (0{,}2,0{,}5).
Também verificamos o intervalo negativo permitido (-1,0): para vários valores em (-1,0) (por exemplo x=-0{,}5, x=-0{,}2, x=-0{,}9) obtém-se \log_{x+1}x^{2}+7>2, isto é f(x)>0. Portanto não há troca de sinal em (-1,0) e, assim, nenhuma raiz nesse intervalo. Concluímos que existe exatamente uma raiz real no intervalo (0,1), e mais precisamente entre 0{,}4 e 0{,}42 (pelo teste rápido abaixo).

Passo 6

Agora refinamos a raiz por um método numérico simples (método de Newton). Trabalhamos com a função
f(x)=x^{2}(x+1)^{5}-1.
Sua derivada é
f'(x)=2x(x+1)^{5}+5x^{2}(x+1)^{4}=(x+1)^{4}\bigl(7x^{2}+2x\bigr).
Escolho uma aproximação inicial x_{0}=0{,}42 (estava entre 0{,}4 e 0{,}42). Avaliando:
  • (x_{0}+1)^{5}\approx 5{,}7735339232,
  • x_{0}^{2}=0{,}1764,
  • f(x_{0})\approx 0{,}1764\cdot 5{,}7735339232 -1 \approx 0{,}01845138405,
  • f'(x_{0})\approx (1{,}42)^{4}\cdot(7\cdot 0{,}1764 + 2\cdot 0{,}42)\approx 4{,}06586896\cdot 2{,}0748 \approx 8{,}4358649.
    Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\approx 0{,}42-\frac{0{,}01845138405}{8{,}4358649}\approx 0{,}417813.

Passo 7

Uma iteração adicional de Newton (ou cálculo com logaritmos) dá um ajuste pequeno e leva à convergência rápida porque f é suave e f' não é pequeno no ponto. Usando uma estimativa via logs:
\ln\bigl(x^{2}(x+1)^{5}\bigr)=2\ln x +5\ln(x+1),
para x\approx 0{,}4178 obtemos 2\ln x +5\ln(x+1)\approx 0, o que mostra que x\approx 0{,}4178 satisfaz x^{2}(x+1)^{5}=1 com alta precisão. Após mais um passo de Newton a solução fica aproximadamente
x\approx 0{,}4179.

Resposta

\,x\approx 0,4179

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