Resolva as equações logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação logarítmica abaixo, encontrando todos os valores de
que satisfazem a igualdade:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A notação
não indica a base explicitamente, então assumimos que ambos os logaritmos têm a mesma base (qualquer base válida com ). - Condição necessária para existência dos logaritmos: o argumento deve ser positivo, portanto temos a restrição
. - A tarefa é achar todos os
reais que satisfazem a equação, respeitando .
Passo 2
Primeira manipulação direta (isolando termos). Vou mostrar um passo simples e muito usado: subtrair
dos dois lados da igualdade para reunir os termos semelhantes. É válido porque
é um número (quando
), então podemos fazer operações algébricas normais entre esses números. Subtraindo
de ambos os lados:
No lado esquerdo
. No direito
cancela, ficando apenas
. Logo obtemos
Passo 3
Propriedade essencial usada agora: a função logaritmo é injetora (ou seja, “um-para-um”) quando a base é fixa e válida (
). Isso significa que, se
, então necessariamente
. Aplicando essa propriedade à igualdade do Passo 2, obtemos
Aqui estou usando que os dois logaritmos têm a mesma base, condição que já lembramos no Passo 1.
Passo 4
Verificação da condição de existência (checar se a solução respeita o domínio). Lembrando que os logaritmos exigem
. A solução obtida é
, que satisfaz
. Portanto
é aceitável.
Passo 5
Método alternativo (útil para aprendizado e para ver possíveis raízes extraviadas): usar propriedades dos logaritmos para transformar cada lado em um único logaritmo e igualar os argumentos. Duas propriedades que vamos usar e explicar:
- Multiplicação por constante:
. Aqui é um número real e . - Soma:
, válida quando e .
Aplicando essas propriedades na equação original:
o lado esquerdo vira pela primeira propriedade, e o direito vira
pela segunda. Assim:
o lado esquerdo vira
Pela injetividade do logaritmo (mesma base), igualamos os argumentos:
Isto é uma equação polinomial simples. Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
As raízes dessa equação são
e
. Mas lembrando o domínio
, descartamos
. Permanece
, coincidindo com o resultado anterior. Esse método mostra por que às vezes surgem raízes que precisam ser rejeitadas por violarem o domínio dos logaritmos.
Passo 6
Resumo final e incentivo: encontramos a solução
, que respeita o domínio
. Você conseguiu — a manipulação foi simples: isolar termos ou usar as propriedades padrão dos logaritmos e lembrar de checar o domínio. Na prova, vale ficar atento a duas coisas: (1) garantir que todos os logaritmos têm a mesma base antes de igualar argumentos; (2) sempre verificar se as raízes obtidas respeitam
.