Resolva as equações logarítmicas:
2 \cdot \log x=\log 2+\log x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação logarítmica abaixo, encontrando todos os valores de x que satisfazem a igualdade:
2\cdot \log x = \log 2 + \log x
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A notação \log não indica a base explicitamente, então assumimos que ambos os logaritmos têm a mesma base (qualquer base válida b>0 com b\neq1).
  • Condição necessária para existência dos logaritmos: o argumento deve ser positivo, portanto temos a restrição x>0.
  • A tarefa é achar todos os x reais que satisfazem a equação, respeitando x>0.

Passo 2

Primeira manipulação direta (isolando termos). Vou mostrar um passo simples e muito usado: subtrair \log x dos dois lados da igualdade para reunir os termos semelhantes. É válido porque \log x é um número (quando x>0), então podemos fazer operações algébricas normais entre esses números. Subtraindo \log x de ambos os lados:
2\cdot \log x - \log x = \log 2 + \log x - \log x.
No lado esquerdo 2\cdot \log x - \log x = \log x. No direito \log x cancela, ficando apenas \log 2. Logo obtemos
\log x = \log 2.

Passo 3

Propriedade essencial usada agora: a função logaritmo é injetora (ou seja, “um-para-um”) quando a base é fixa e válida ( b>0, b\neq1). Isso significa que, se \log u = \log v, então necessariamente u = v. Aplicando essa propriedade à igualdade do Passo 2, obtemos
x = 2.
Aqui estou usando que os dois logaritmos têm a mesma base, condição que já lembramos no Passo 1.

Passo 4

Verificação da condição de existência (checar se a solução respeita o domínio). Lembrando que os logaritmos exigem x>0. A solução obtida é x=2, que satisfaz 2>0. Portanto x=2 é aceitável.

Passo 5

Método alternativo (útil para aprendizado e para ver possíveis raízes extraviadas): usar propriedades dos logaritmos para transformar cada lado em um único logaritmo e igualar os argumentos. Duas propriedades que vamos usar e explicar:
  • Multiplicação por constante: c\cdot \log a = \log(a^c). Aqui c é um número real e a>0.
  • Soma: \log a + \log b = \log(ab), válida quando a>0 e b>0.
Aplicando essas propriedades na equação original:
o lado esquerdo vira \log(x^2) pela primeira propriedade, e o direito vira \log(2x) pela segunda. Assim:
\log(x^2) = \log(2x).
Pela injetividade do logaritmo (mesma base), igualamos os argumentos:
x^2 = 2x.
Isto é uma equação polinomial simples. Subtraindo 2x dos dois lados:
x^2 - 2x = 0.
Fatorando:
x(x-2) = 0.
As raízes dessa equação são x=0 e x=2. Mas lembrando o domínio x>0, descartamos x=0. Permanece x=2, coincidindo com o resultado anterior. Esse método mostra por que às vezes surgem raízes que precisam ser rejeitadas por violarem o domínio dos logaritmos.

Passo 6

Resumo final e incentivo: encontramos a solução x=2, que respeita o domínio x>0. Você conseguiu — a manipulação foi simples: isolar termos ou usar as propriedades padrão dos logaritmos e lembrar de checar o domínio. Na prova, vale ficar atento a duas coisas: (1) garantir que todos os logaritmos têm a mesma base antes de igualar argumentos; (2) sempre verificar se as raízes obtidas respeitam x>0.

Resposta

\,x=2

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