Resolva as equações em
:
Passo 1
Enunciado e o que se pede (tirei tudo da própria equação):
- Procurar todas as soluções em
da equação
- Informação relevante:
(porque o domínio é ).
O objetivo é encontrar todos os valores positivos deque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Testar soluções óbvias:
.
- Lembrete útil: para qualquer número real
, vale . - Substituindo
na equação:
e o lado direito é
. Portanto
é solução.
Passo 3
Resolver para
usando logaritmo natural.
- Justificativa: para
e ambos os lados são positivos, então podemos aplicar o logaritmo natural. Também usamos a propriedade básica do logaritmo: para . - Aplicando
em ambos os lados da equação :
Pela propriedade do logaritmo:
Passo 4
Transformar a igualdade em produto que zera e analisar casos.
- Subtrai-se
dos dois lados:
- Produto igual a zero implica duas possibilidades:
-
, ou -
.
-
Passo 5
Estudar cada possibilidade:
-
implica . (Já achamos essa solução no Passo 2.) - Resolver a equação quadrática
- Usar a fórmula de Bhaskara (para
, ). Aqui , , . - Calcular o discriminante:
- Raízes:
Portanto as raízes são
Como queremos
, descartamos
. Resta
.
Passo 6
Verificação rápida das soluções encontradas:
- Para
: já verificado no Passo 2, . - Para
: calcular o expoente em :
então
, coincide com o lado direito. Logo
é solução válida.