Resolva as equações em \mathbb{R}_{+}:
x^{x^{2}-2 x-7}=x

Passo 1

Enunciado e o que se pede (tirei tudo da própria equação):
  • Procurar todas as soluções em \mathbb{R}_{+} da equação
x^{x^{2}-2x-7}=x.
  • Informação relevante: x>0 (porque o domínio é \mathbb{R}_{+}).
    O objetivo é encontrar todos os valores positivos de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Testar soluções óbvias: x=1.
  • Lembrete útil: para qualquer número real a, vale 1^{a}=1.
  • Substituindo x=1 na equação:
1^{1^{2}-2\cdot1-7}=1^{1-2-7}=1^{ -8}=1,
e o lado direito é 1. Portanto x=1 é solução.

Passo 3

Resolver para x\neq1 usando logaritmo natural.
  • Justificativa: para x>0 e x\neq1 ambos os lados são positivos, então podemos aplicar o logaritmo natural. Também usamos a propriedade básica do logaritmo: \ln\big(a^{b}\big)=b\ln a para a>0.
  • Aplicando \ln em ambos os lados da equação \,x^{x^{2}-2x-7}=x:
\ln\!\big(x^{x^{2}-2x-7}\big)=\ln x.
Pela propriedade do logaritmo:
\big(x^{2}-2x-7\big)\ln x=\ln x.

Passo 4

Transformar a igualdade em produto que zera e analisar casos.
  • Subtrai-se \ln x dos dois lados:
\big(x^{2}-2x-7\big)\ln x-\ln x=0,
\big(x^{2}-2x-8\big)\ln x=0.
  • Produto igual a zero implica duas possibilidades:
    1. \ln x=0, ou
    2. x^{2}-2x-8=0.

Passo 5

Estudar cada possibilidade:
  1. \ln x=0 implica x=1. (Já achamos essa solução no Passo 2.)
  2. Resolver a equação quadrática
x^{2}-2x-8=0.
  • Usar a fórmula de Bhaskara (para ax^{2}+bx+c=0, x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}). Aqui a=1, b=-2, c=-8.
  • Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36.
  • Raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm6}{2}.
Portanto as raízes são
x=\frac{2+6}{2}=4\quad\text{e}\quad x=\frac{2-6}{2}=-2.
Como queremos x\in\mathbb{R}_{+}, descartamos x=-2. Resta x=4.

Passo 6

Verificação rápida das soluções encontradas:
  • Para x=1: já verificado no Passo 2, 1^{\cdot}=1.
  • Para x=4: calcular o expoente x^{2}-2x-7 em x=4:
4^{2}-2\cdot4-7=16-8-7=1,
então 4^{1}=4, coincide com o lado direito. Logo x=4 é solução válida.

Resposta

x=1
x=4

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