Resolva as equações em \mathbb{R}_{+}:
x^{x+1}=x

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação em \mathbb{R}_{+}
x^{x+1}=x.
Informações fornecidas e restrições claras:
  • Procuram‑se as soluções x com x>0.
  • A incógnita aparece tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: como x>0 não é zero, podemos subtrair x e fatorar ou dividir por x. Faço a fatoração porque é direta:
x^{x+1}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x\bigl(x^{x}-1\bigr)=0.
Explicando: usou‑se a propriedade de potências x^{x+1}=x\cdot x^{x}, depois colocou em evidência x.

Passo 3

Como estamos em \mathbb{R}_{+}, x\neq0. Assim o fator x não pode ser zero, logo a solução deve vir de
x^{x}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x^{x}=1.
Isso reduz muito o trabalho: agora só precisamos resolver x^{x}=1 com x>0.

Passo 4

Para tratar x^{x}=1 usamos logaritmo natural; isso é permitido porque x^{x}>0 para todo x>0. Aplicando \ln em ambos os lados e usando a identidade \ln(a^{b})=b\ln a, obtemos
\ln\bigl(x^{x}\bigr)=\ln 1 \quad\Rightarrow\quad x\ln x = 0.
Aqui \ln indica o logaritmo natural; saiba que \ln 1=0.

Passo 5

A equação x\ln x=0 é um produto nulo. Assim as possibilidades reais são x=0 ou \ln x=0. Mas lembrando a restrição do enunciado, x deve ser positivo, portanto x=0 não é admissível. Restando
\ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Verificação rápida: substituindo em x^{x+1}=x 1^{2}=1, ok.

Passo 6

Conclusão e comentário didático: a única solução em \mathbb{R}_{+} é x=1. Observação útil para a prova: sempre que aparecer x na base e no expoente, tentar transformar para uma equação do tipo x^{x}= conste ou usar logaritmo natural é uma estratégia padrão e rápida. Além disso, ao dividir ou fatorar, cheque a restrição de domínio (aqui x>0) para não perder ou introduzir soluções inválidas.

Resposta

x=1

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