Resolva as equações em
:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
e o domínio é (ou seja, ). - A equação envolve uma potência com expoente que depende de
: a base é e o expoente é . - Queremos todas as soluções positivas
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Observação importante sobre estratégias que podemos usar (sem resolver ainda):
- Para
podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, pois é bem definida para números positivos. - Outra ideia é raciocinar sobre quando uma potência
é igual a : se qualquer expoente funciona; se e podemos comparar expoentes porque a função (com , ) é injetora em .
Vamos seguir a via do logaritmo porque ela unifica os casos de forma direta.
Passo 3
Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Como
,
é válida e temos, escrevendo a equação e então aplicando
:
Usando a propriedade
(para
), obtemos:
Passo 4
Levar tudo para um lado e fatorar
:
Agora temos um produto igual a zero. Como estamos em
, as duas possibilidades são:
-
, ou -
.
Passo 5
Tratar cada caso separadamente.
Caso 1:
.
A equação é equivalente a
. Então
é uma solução.
A equação
Caso 2:
.
Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara. Primeiro calcule o discriminante :
Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara. Primeiro calcule o discriminante
Como
, as raízes são
Portanto as raízes são
Ambas são positivas, logo ambas são candidatas.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): substituir cada candidato na equação original para garantir que não houve perda de soluções nas manipulações.
- Para
: . Mais diretamente, , então satisfaz. - Para
: o expoente é . Logo , satisfaz. - Para
: o expoente é . Logo , satisfaz.
Todos os três funcionam.
Passo 7
Conclusão: as soluções em
são
,
e
. Boa! Você conseguiu encontrar todas as soluções — e a técnica do logaritmo é bem prática para esse tipo de problema.