Resolva as equações em \mathbb{R}_{+}:
x^{2 x^{2}-5 x+3}=x

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R}_{+} a equação
x^{2 x^{2}-5 x+3}=x.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e o domínio é \mathbb{R}_{+} (ou seja, x>0).
  • A equação envolve uma potência com expoente que depende de x: a base é x e o expoente é 2x^{2}-5x+3.
  • Queremos todas as soluções positivas x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Observação importante sobre estratégias que podemos usar (sem resolver ainda):
  • Para x>0 podemos aplicar o logaritmo natural \ln em ambos os lados, pois \ln é bem definida para números positivos.
  • Outra ideia é raciocinar sobre quando uma potência x^{A} é igual a x: se x=1 qualquer expoente funciona; se x\neq1 e x>0 podemos comparar expoentes porque a função t\mapsto x^{t} (com x>0, x\neq1) é injetora em t.
    Vamos seguir a via do logaritmo porque ela unifica os casos de forma direta.

Passo 3

Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Como x>0, \ln é válida e temos, escrevendo a equação e então aplicando \ln:
x^{2 x^{2}-5 x+3}=x
\implies \ln\bigl(x^{2 x^{2}-5 x+3}\bigr)=\ln(x).
Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a (para a>0), obtemos:
\bigl(2x^{2}-5x+3\bigr)\ln x=\ln x.

Passo 4

Levar tudo para um lado e fatorar \ln x:
\bigl(2x^{2}-5x+3\bigr)\ln x-\ln x=0
\implies \bigl(2x^{2}-5x+3-1\bigr)\ln x=0
\implies \bigl(2x^{2}-5x+2\bigr)\ln x=0.
Agora temos um produto igual a zero. Como estamos em \mathbb{R}_{+}, as duas possibilidades são:
  1. \ln x=0, ou
  2. 2x^{2}-5x+2=0.

Passo 5

Tratar cada caso separadamente.
Caso 1: \ln x=0.
A equação \ln x=0 é equivalente a x=1. Então x=1 é uma solução.
Caso 2: 2x^{2}-5x+2=0.
Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara. Primeiro calcule o discriminante \Delta:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2 = 25-16=9.
Como \Delta=9, as raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}.
Portanto as raízes são
x=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2 \quad\text{e}\quad x=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Ambas são positivas, logo ambas são candidatas.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): substituir cada candidato na equação original para garantir que não houve perda de soluções nas manipulações.
  • Para x=1: 1^{2\cdot1^{2}-5\cdot1+3}=1^{0+?}=1. Mais diretamente, 1^{\text{qualquer}}=1, então satisfaz.
  • Para x=2: o expoente é 2\cdot 2^{2}-5\cdot 2+3=2\cdot4-10+3=8-10+3=1. Logo 2^{1}=2, satisfaz.
  • Para x=\tfrac{1}{2}: o expoente é 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-5\cdot\tfrac{1}{2}+3=2\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{5}{2}+3=\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{2}+3=1. Logo \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=\tfrac{1}{2}, satisfaz.
Todos os três funcionam.

Passo 7

Conclusão: as soluções em \mathbb{R}_{+} são x=\tfrac{1}{2}, x=1 e x=2. Boa! Você conseguiu encontrar todas as soluções — e a técnica do logaritmo é bem prática para esse tipo de problema.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}
x=1
x=2

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