Resolva as equações matriciais abaixo:
X \cdot\left(\begin{array}{cc}11 & 5 \\\\ 2 & 1\end{array}\right)=\binom{2}{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
X\cdot\begin{pmatrix}11 & 5 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=\binom{2}{3}.
Informações e pedido:
  • A matriz conhecida A=\begin{pmatrix}11 & 5 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix} é de dimensão 2\times2 (peguei isso do enunciado).
  • O termo do lado direito é o vetor coluna b=\binom{2}{3}, que tem dimensão 2\times1.
  • A incógnita é a matriz X. O objetivo é encontrar X tal que a igualdade acima seja verdadeira.]

Passo 2

Regra de existência do produto matricial (aula rápida e prática).
  • Se X tem dimensão m\times n e A tem dimensão p\times q, então o produto X\cdot A está definido se, e somente se, n=p. Nesse caso o produto resultante tem dimensão m\times q.
  • Aqui A tem dimensão 2\times2. Então, para que X\cdot A esteja definido, a segunda dimensão de X tem que ser 2. Ou seja, escrevendo X como m\times 2, o produto existe e tem dimensão m\times 2.

Passo 3

Comparando com o lado direito: o resultado pedido b tem dimensão 2\times1.
  • Se X for m\times2, então X\cdot A terá dimensão m\times2.
  • Para que X\cdot A seja igual a b (que é 2\times1) precisamos que as dimensões coincidam, isto é: m\times 2 \;=\; 2\times 1.Isso exige simultaneamente que m=2 e 2=1. A segunda igualdade 2=1 é impossível.

Passo 4

Verificação por tentativa de formas comuns de X:
  • Se X for um vetor linha 1\times2, então X\cdot A é 1\times2, não pode ser igual a um vetor 2\times1.
  • Se X for um vetor coluna 2\times1, então o produto X\cdot A não está definido (as dimensões internas não batem: 1\neq 2).
  • Se X for 2\times2, então X\cdot A é 2\times2, não igual a 2\times1.
    Portanto nenhuma forma usual de X permite que X\cdot A seja um vetor 2\times1.

Passo 5

Conclusão sobre a equação como foi escrita:
  • A equação dada é incompatível em termos de dimensões e, portanto, não existe nenhuma matriz X que satisfaça X\cdot\begin{pmatrix}11 & 5 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}=\binom{2}{3}.
  • Em palavras: o produto à esquerda sempre terá 2 colunas (porque A tem 2 colunas), enquanto o lado direito tem 1 coluna — dimensões diferentes, impossível igualar.]

Passo 6

(Comentário útil — se for um erro de escrita comum)
  • Frequentemente o autor queria resolver \begin{pmatrix}11 & 5 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix}\cdot X=\binom{2}{3} (ou seja, o sistema A X=b). Nesse caso a forma está bem definida e pode-se encontrar X resolvendo X=A^{-1}b, desde que A seja inversível.
  • Exemplo de cálculo (só para treinar a técnica de inversa 2×2):
    • Para A=\begin{pmatrix}11 & 5 \\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix} tem-se \det(A)=11\cdot1-5\cdot2=1.
    • A inversa é A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}1 & -5 \\[2pt] -2 & 11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -5 \\[2pt] -2 & 11\end{pmatrix}.
    • Multiplicando por b=\binom{2}{3}: X=A^{-1}b=\begin{pmatrix}1 & -5 \\[2pt] -2 & 11\end{pmatrix}\binom{2}{3} =\binom{1\cdot2+(-5)\cdot3}{-2\cdot2+11\cdot3}=\binom{-13}{29}.
    • Ou seja, se o enunciado tivesse sido A X=b, a solução seria X=\binom{-13}{29}.
  • Observação: este passo é apenas uma demonstração de solução para o caso em que os fatores estivessem trocados; não resolve a equação exatamente como escrita no enunciado.]

Resposta

Não existe matriz X que satisfaça a equação dada, porque as dimensões do produto são incompatíveis.

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