A matriz desconhecida é X (tamanho compatível com a multiplicação à esquerda).
A matriz à direita multiplicando X é \displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
O produto conhecido é \displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
O que se pede:
Determinar a matriz X que satisfaz \;X A = B.]
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): se a matriz A for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação à direita por A^{-1} e obter
X = B A^{-1}.
Por que isso é válido? Para matrizes quadradas invertíveis existe uma matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I (onde I é a matriz identidade). Multiplicar a equação X A = B por A^{-1} à direita dá X A A^{-1} = B A^{-1}, ou seja X = B A^{-1}. Então nosso trabalho é: (1) verificar que A é invertível; (2) calcular A^{-1}; (3) calcular X = B A^{-1}.
Passo 3
Verificando invertibilidade de A (determinante 2×2): para uma matriz 2\times2,
\text{se }A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},\quad \det(A)=ad-bc.
Se \det(A)\neq 0, então A é invertível. Para nossa A temos a=3, b=-4, c=-2, d=3. Então
\det(A)=3\cdot 3 - (-4)\cdot(-2)=9-8=1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível.]
Passo 4
Fórmula do inverso de uma matriz 2\times2 e aplicação: para A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(A)\neq0,
Lembrete da multiplicação de matrizes: o elemento da linha i e coluna j do produto é o produto escalar da linha i da primeira matriz com a coluna j da segunda matriz (soma dos produtos termo a termo).