Resolva as equações matriciais abaixo:
X \cdot\left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ -2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação matricial
X \cdot \begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz desconhecida é X (tamanho compatível com a multiplicação à esquerda).
  • A matriz à direita multiplicando X é \displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
  • O produto conhecido é \displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
    O que se pede:
  • Determinar a matriz X que satisfaz \;X A = B.]

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): se a matriz A for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação à direita por A^{-1} e obter
X = B A^{-1}.
Por que isso é válido? Para matrizes quadradas invertíveis existe uma matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I (onde I é a matriz identidade). Multiplicar a equação X A = B por A^{-1} à direita dá X A A^{-1} = B A^{-1}, ou seja X = B A^{-1}. Então nosso trabalho é: (1) verificar que A é invertível; (2) calcular A^{-1}; (3) calcular X = B A^{-1}.

Passo 3

Verificando invertibilidade de A (determinante 2×2): para uma matriz 2\times2,
\text{se }A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},\quad \det(A)=ad-bc.
Se \det(A)\neq 0, então A é invertível. Para nossa A temos a=3, b=-4, c=-2, d=3. Então
\det(A)=3\cdot 3 - (-4)\cdot(-2)=9-8=1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível.]

Passo 4

Fórmula do inverso de uma matriz 2\times2 e aplicação: para A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a A=\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} e usando \det(A)=1,
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
(Observe que o sinal de b e c mudou conforme a fórmula: -b = -(-4)=4, -c = -(-2)=2.)]

Passo 5

Agora calculamos X = B A^{-1} com
B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Lembrete da multiplicação de matrizes: o elemento da linha i e coluna j do produto é o produto escalar da linha i da primeira matriz com a coluna j da segunda matriz (soma dos produtos termo a termo).
Calculamos entrada a entrada:
  • Entrada (1,1) (primeira linha, primeira coluna):
(1,1):\;1\cdot 3 + 3\cdot 2 = 3 + 6 = 9.
  • Entrada (1,2) (primeira linha, segunda coluna):
(1,2):\;1\cdot 4 + 3\cdot 3 = 4 + 9 = 13.
  • Entrada (2,1) (segunda linha, primeira coluna):
(2,1):\;2\cdot 3 + 0\cdot 2 = 6 + 0 = 6.
  • Entrada (2,2) (segunda linha, segunda coluna):
(2,2):\;2\cdot 4 + 0\cdot 3 = 8 + 0 = 8.
Portanto
X=\begin{pmatrix}9 & 13 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para conferir): multiplicando X por A,
\begin{pmatrix}9 & 13 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\cdot3 + 13\cdot(-2) & 9\cdot(-4) + 13\cdot 3 \\[4pt] 6\cdot3 + 8\cdot(-2) & 6\cdot(-4) + 8\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}27-26 & -36+39 \\[4pt] 18-16 & -24+24\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix},
que coincide com B. Confere!]

Resposta

X=\begin{pmatrix}9 & 13 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}]

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