Resolva as equações matriciais abaixo:
\left[\begin{array}{cc}\text { cost } & \text { sent } \\\\ - \text { sent } & \text { cost }\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}13 \\\\ 18\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a equação matricial
\begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\\\\ 18 \end{pmatrix}
e pede para encontrar os escalares a e b. Como essa matriz é uma rotação (ortogonal), podemos usar álgebra linear para inverter o sistema.

Passo 2

Escrevendo o sistema em forma escalar, temos
\begin{cases} \cos t\,a + \sin t\,b = 13,\\\\ -\,\sin t\,a + \cos t\,b = 18. \end{cases}

Passo 3

A matriz
R = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}
é ortogonal, logo
R^{-1} = R^T = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t\\\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}.
Multiplicando ambos os lados da equação original por R^{-1}, obtemos
\begin{pmatrix} a\\\ b \end{pmatrix} = R^T \begin{pmatrix} 13\\\\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t\\\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13\\\\ 18 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculando o produto, segue
a = 13\cos t - 18\sin t, \qquad b = 13\sin t + 18\cos t.

Resposta

a = 13\cos t - 18\sin t,\quad b = 13\sin t + 18\cos t.

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