Resolva as equações matriciais abaixo:
X\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a equação matricial
X\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\[4pt] 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz à direita do produto é \displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
  • O lado direito da igualdade está escrito como o vetor coluna \displaystyle\begin{pmatrix}7\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Observação de consistência dimensional (importante): para que o produto X A faça sentido deve haver compatibilidade de dimensões. Se o vetor do lado direito for realmente um vetor coluna 2\times1, então não existe matriz X tal que X A (que tem número de colunas igual a 2) seja igual a um vetor com uma coluna: a dimensão do produto X A seria m\times 2 enquanto o lado direito é 2\times 1 — isso só seria compatível em casos estranhos que não ocorrem aqui. Portanto, para que a equação esteja bem formulada é natural interpretar o lado direito como o vetor linha \displaystyle\begin{pmatrix}7 & 5\end{pmatrix} (ou seja, uma matriz 1\times 2). Vou seguir essa interpretação, pois é a única que torna o problema resolvível sem contradizer as dimensões.
Assim, a equação que vamos resolver é
X\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 5\end{pmatrix},
onde a solução procurada é a matriz linha X de tamanho 1\times 2.]

Passo 2

Entendendo o objetivo e o método: queremos encontrar X tal que X A = B, com
A=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}7 & 5\end{pmatrix}.
Quando A é invertível (tem inversa A^{-1}), podemos multiplicar a equação à direita por A^{-1} para isolar X:
X A = B \quad\Longrightarrow\quad X A A^{-1} = B A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X = B A^{-1}.
Essa é a operação correta porque a multiplicação matricial não é comutativa: multiplicar pela inversa à direita cancela A do lado direito do produto. Portanto o passo chave é calcular A^{-1} e depois multiplicar B por essa inversa.]

Passo 3

Relembre rápido: inversa de uma matriz 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(A)=ad-bc. Se \det(A)\neq 0, então
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação curta do porquê (sem formalidade excessiva): a fórmula garante que A A^{-1}=I porque os coeficientes são escolhidos para resolver o sistema linear que define os elementos da inversa; para 2\times2 essa é a forma fechada simples e prática.]

Passo 4

Calcular o determinante de A. Aqui a=3, b=4, c=1, d=3. Então
\det(A)=3\cdot 3 - 4\cdot 1 = 9-4 = 5.
Como \det(A)=5\neq 0, a matriz A é invertível e podemos usar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Calcular A^{-1} usando a fórmula do passo 3:
A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora usamos a relação X = B A^{-1}. Primeiro calcule o produto sem o fator \dfrac{1}{5}:
B\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Multiplicando vetor linha 1\times 2 pela matriz 2\times 2 fazemos produto escalar de B com cada coluna da matriz:
  • primeira entrada:
7\cdot 3 + 5\cdot(-1) = 21 - 5 = 16;
  • segunda entrada:
7\cdot(-4) + 5\cdot 3 = -28 + 15 = -13.
Portanto
B\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16 & -13\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora multiplicamos pelo fator \dfrac{1}{5} para obter X:
X = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}16 & -13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{16}{5} & -\dfrac{13}{5}\end{pmatrix}.
Fazendo uma checagem rápida para ver que realmente satisfaz a equação original: compute X A:
\begin{pmatrix}\dfrac{16}{5} & -\dfrac{13}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{16}{5}\cdot 3 + \bigl(-\dfrac{13}{5}\bigr)\cdot 1 & \dfrac{16}{5}\cdot 4 + \bigl(-\dfrac{13}{5}\bigr)\cdot 3 \end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
\dfrac{48-13}{5}=\dfrac{35}{5}=7,\qquad \dfrac{64-39}{5}=\dfrac{25}{5}=5.
Logo X A=\begin{pmatrix}7 & 5\end{pmatrix}, que é o lado direito que assumimos — checagem confirmada.]

Passo 8

Resumo didático rápido do procedimento (para a prova): sempre verifique primeiro as dimensões para decidir a orientação dos vetores/matrizes; se tiver X A = B e A é invertível, calcule A^{-1} (para 2\times2 use a fórmula fechada), e então X = B A^{-1}. Faça a checagem multiplicando de volta para garantir que não houve erro aritmético. Força aí — dá pra resolver questões desse estilo na prova.

Resposta

\displaystyle X=\begin{pmatrix}\dfrac{16}{5} & -\dfrac{13}{5}\end{pmatrix}

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