O Sputnik, primeiro satélite lançado da Terra em 1957, descrevia uma órbita elíptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equação da sua órbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
altitude foi de 840 k m, a sua menor altitude foi de 189 k m e o raio da Terra é de 570 km .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da órbita (uma elipse) do Sputnik, sabendo:
  • maior altitude: 840\\ \text{km} (isto é, apogeu a 840\\ \text{km} acima da superfície da Terra);
  • menor altitude: 189\\ \text{km} (isto é, perigeu a 189\\ \text{km} acima da superfície da Terra);
  • raio da Terra (dado do enunciado): 570\\ \text{km}.
Informações relevantes (convertidas para distâncias desde o centro da Terra, que é um foco da elipse):
  • distância ao perigeu (menor distância ao centro): r_{\min}=570+189\\ \text{km}=759\\ \text{km};
  • distância ao apogeu (maior distância ao centro): r_{\max}=570+840\\ \text{km}=1410\\ \text{km}.
O que se pede explicitamente: escrever a equação da elipse cuja um dos focos é o centro da Terra e que tem as distâncias acima como mínimo e máximo ao foco.

Passo 2

Definição e configuração coordenada (explicação didática): uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante e igual a 2a, onde a é o semi-eixo maior. Em coordenadas cartesianas, a forma mais prática aqui é colocar um foco no eixo x na origem (o centro da Terra) e a elipse centrada em x=c (ou seja, o centro da elipse fica na posição (c,0)). Assim a equação da elipse em forma padrão será
\frac{(x-c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
com os focos em (c\pm c,0)=(0,0) e (2c,0). A relação entre os parâmetros é
c^2=a^2-b^2.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • a = semi-eixo maior (metade do comprimento da maior distância entre vértices da elipse);
  • b = semi-eixo menor;
  • c = distância do centro da elipse ao foco (aqui, centro da elipse em x=c e foco em x=0);
  • os vértices da elipse ficam em x=c\pm a.

Passo 3

Relação entre r_{\min},r_{\max} e a,c (por que usamos essas fórmulas):
  • o perigeu é o vértice mais próximo ao foco na origem, cujo x-coord é c-a; a distância do foco em 0 a esse vértice é |c-a|=a-c (porque a>c), portanto
r_{\min}=a-c.
  • o apogeu é o vértice mais distante, cujo x-coord é c+a; a distância do foco em 0 a esse vértice é c+a, portanto
r_{\max}=a+c.
Somando e subtraindo essas duas equações obtemos fórmulas simples para a e c:
a=\frac{r_{\min}+r_{\max}}{2},\qquad c=\frac{r_{\max}-r_{\min}}{2}.
Essas fórmulas são muito úteis em problemas orbitais porque as distâncias ao foco no perigeu e apogeu determinam diretamente a e c.

Passo 4

Calcular a e c com os valores dados (contas passo a passo sem pular etapas):
  • primeiro, relembrando r_{\min}=759 e r_{\max}=1410.
  • calcular a:
a=\frac{r_{\min}+r_{\max}}{2}=\frac{759+1410}{2}=\frac{2169}{2}=1084{,}5\\ \text{km}.
  • calcular c:
c=\frac{r_{\max}-r_{\min}}{2}=\frac{1410-759}{2}=\frac{651}{2}=325{,}5\\ \text{km}.
Verificação rápida de consistência: a>c (pois 1084{,}5>325{,}5), como deve ser.

Passo 5

Determinar b^2 usando a relação b^2=a^2-c^2. Em vez de calcular a^2 e c^2 separadamente e depois subtrair, note uma identidade prática: usando r_{\min}=a-c e r_{\max}=a+c,
a^2-c^2=(a-c)(a+c)=r_{\min}r_{\max}.
Portanto
b^2=r_{\min}r_{\max}=759\cdot1410.
Vamos multiplicar passo a passo:
759\cdot1410=759\cdot(1000+400+10)=759000+303600+7590=1\,070\,190.
Assim
b^2=1\,070\,190\\ \text{(km}^2\text{)}.
Se quisermos, podemos também calcular a^2 e c^2 para verificação:
a^2=1084{,}5^2=1\,176\,140{,}25,\qquad c^2=325{,}5^2=105\,950{,}25,
e a^2-c^2=1\,176\,140{,}25-105\,950{,}25=1\,070\,190, conferindo b^2.

Passo 6

Escrever a equação da elipse usando os valores numéricos encontrados. Lembrando a forma escolhida (elipse centrada em x=c, foco na origem):
\frac{(x-c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Substituindo a=1084{,}5, c=325{,}5 e b^2=1\,070\,190 (e a^2=1\,176\,140{,}25), obtemos
\frac{(x-325{,}5)^2}{1\,176\,140{,}25}+\frac{y^2}{1\,070\,190}=1.
Comentário de interpretação: nessa equação o foco em x=0 representa o centro da Terra; o vértice mais próximo tem distância a-c=759 ao foco (perigeu) e o mais afastado a+c=1410 (apogeu), conforme dados.

Resposta

\frac{(x-325{,}5)^2}{1\,176\,140{,}25}+\frac{y^2}{1\,070\,190}=1

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