O Sputnik, primeiro satélite lançado da Terra em 1957, descrevia uma órbita elíptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equação da sua órbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
altitude foi de
, a sua menor altitude foi de
e o raio da Terra é de 570 km .
altitude foi de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da órbita (uma elipse) do Sputnik, sabendo:
- maior altitude:
(isto é, apogeu a acima da superfície da Terra); - menor altitude:
(isto é, perigeu a acima da superfície da Terra); - raio da Terra (dado do enunciado):
.
Informações relevantes (convertidas para distâncias desde o centro da Terra, que é um foco da elipse):
- distância ao perigeu (menor distância ao centro):
; - distância ao apogeu (maior distância ao centro):
.
O que se pede explicitamente: escrever a equação da elipse cuja um dos focos é o centro da Terra e que tem as distâncias acima como mínimo e máximo ao foco.
Passo 2
Definição e configuração coordenada (explicação didática): uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante e igual a
, onde
é o semi-eixo maior. Em coordenadas cartesianas, a forma mais prática aqui é colocar um foco no eixo
na origem (o centro da Terra) e a elipse centrada em
(ou seja, o centro da elipse fica na posição
). Assim a equação da elipse em forma padrão será
com os focos em
e
. A relação entre os parâmetros é
Explicação do que cada símbolo significa:
-
= semi-eixo maior (metade do comprimento da maior distância entre vértices da elipse); -
= semi-eixo menor; -
= distância do centro da elipse ao foco (aqui, centro da elipse em e foco em ); - os vértices da elipse ficam em
.
Passo 3
Relação entre
e
(por que usamos essas fórmulas):
- o perigeu é o vértice mais próximo ao foco na origem, cujo
-coord é ; a distância do foco em a esse vértice é (porque ), portanto
- o apogeu é o vértice mais distante, cujo
-coord é ; a distância do foco em a esse vértice é , portanto
Somando e subtraindo essas duas equações obtemos fórmulas simples para
e
:
Essas fórmulas são muito úteis em problemas orbitais porque as distâncias ao foco no perigeu e apogeu determinam diretamente
e
.
Passo 4
Calcular
e
com os valores dados (contas passo a passo sem pular etapas):
- primeiro, relembrando
e . - calcular
:
- calcular
:
Verificação rápida de consistência:
(pois
), como deve ser.
Passo 5
Determinar
usando a relação
. Em vez de calcular
e
separadamente e depois subtrair, note uma identidade prática: usando
e
,
Portanto
Vamos multiplicar passo a passo:
Assim
Se quisermos, podemos também calcular
e
para verificação:
e
, conferindo
.
Passo 6
Escrever a equação da elipse usando os valores numéricos encontrados. Lembrando a forma escolhida (elipse centrada em
, foco na origem):
Substituindo
,
e
(e
), obtemos
Comentário de interpretação: nessa equação o foco em
representa o centro da Terra; o vértice mais próximo tem distância
ao foco (perigeu) e o mais afastado
(apogeu), conforme dados.